Uzel invariantní
Invariant uzlu je jakákoli charakteristika uzlu (v nejjednodušším čísle, ale může to být polynom , skupina atd.), která je definována pro každý uzel a je stejná pro ekvivalentní uzly. Ekvivalence je obvykle dána okolní izotopií , ale může být také dána jako homeomorfismus .
Studium invariantů je motivováno nejen hlavním úkolem teorie - rozlišováním uzlů -, ale také potřebou porozumět základním vlastnostem uzlů a jejich vztahu k ostatním oblastem matematiky.
Z moderního pohledu je přirozené určit invariant uzlu z jeho diagramu . Samozřejmě, že invariant musí zůstat nezměněn pod Reidemeisterovými tahy , tato vlastnost je ekvivalentní invarianci charakteristiky.
Příklady
- Nejjednodušším příkladem invariantu je schopnost vybarvit třemi barvami a počet takových zabarvení.
- Jedním z nejvhodnějších invariantů pro rozlišení uzlů jsou polynomy uzlů
- Invarianty konečného typu jsou třídou invariantů uzlů charakterizovaných určitým vztahem ke všem rozlišením singulárního uzlu s daným počtem vlastních průniků.
- Jiné invarianty lze určit zvážením některých celočíselných funkcí na diagramech uzlů, přičemž se vezme jejich minimum ze všech možných diagramů daného uzlu. Tento typ zahrnuje počet sekcí, což je minimální počet křížů mezi všemi diagramy uzlů, a také minimální počet mostů . Takové invarianty jsou snadno definovatelné, ale téměř nemožné je vypočítat.
- Gordon-Luc teorém říká, že doplněk uzlu (jako topologický prostor ) je „úplný invariant“ uzlu v tom smyslu, že rozlišuje daný uzel od všech ostatních až po izotopii okolí a zrcadlový odraz . Mezi invarianty spojené s doplňkem uzlu je skupina uzlů , což je jednoduše základní skupina jeho doplňku. Kvandle uzlů je v tomto smyslu také úplným invariantem, ale kvandle je obtížné srovnávat z hlediska izomorfismu.
- Hyperbolická struktura na doplňku hyperbolického článku je jednoznačně určena Mostowovou tuhostí , takže hyperbolický objem je pro tyto uzly a články neměnný . Objem a další hyperbolické invarianty se ukázaly jako účinné pro sestavování rozsáhlých tabulek uzlů .
- homologické invarianty uzlu, které kategorizují (překládají z hlediska teorie kategorií ) dobře známé invarianty. Například
- Homologie Hygard Flor je homologická teorie, jejíž Eulerovou charakteristikou je polynom Alexandrova uzlu. Ukázalo se, že je užitečný pro získání nových výsledků na klasických invariantech.
- Další směr výzkumu je kombinatoricky definovaná cohomologická teorie, nazývaná Khovanovova homologie , její Eulerova charakteristika je Jonesův polynom .
Literatura