Invariantní konečný typ
Invariant konečného typu (nebo Vasilievův invariant ) je třída invariantů uzlů charakterizovaných určitým vztahem ke všem rozlišením singulárního uzlu s daným počtem vlastních průniků.
Definice
Nechť je invariant uzlů s hodnotami v reálných číslech, to znamená , že pro každý uzel je definováno reálné číslo , takže pokud uzly a jsou izotopické.
Zvažte diagram plochého uzlu a vyberte podmnožinu jeho průsečíků sestávající z prvků. Očíslujme tyto průsečíky od 1 do .
Pro množinu , kde uvažujeme diagram získaný změnou průsečíků podle následujícího pravidla: if , pak se -tý průsečík nezmění a if , pak se změní na opačný.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\tečky ,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Nechť je nezáporné celé číslo. Pokud pro jakýkoli diagram a jakýkoli výběr průsečíků identitu
![{\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\tečky ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{ 1},\tečky ,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
pak říkají, že to má stupeň ne vyšší než .
Invarianty konečného stupně se nazývají invarianty konečného typu .
Příklady
- Všechny známé invarianty polynomiálních uzlů jsou vyjádřeny pomocí invariantů konečného typu.
- Koeficient kvadratického členu v Alexandrově polynomu je konečným typem invariantu stupně dva.
- Jakýkoli koeficient v Kontsevichově integrálu je invariant konečného typu.
Vlastnosti
- Invarianty stupně ne vyšší tvoří vektorový prostor . V čem
- a jsou jednorozměrné, to znamená, že invarianty stupně ne vyššího jsou pouze konstanty.
Otevřené otázky
- Tvoří invarianty konečného typu úplný systém invariantů? To znamená, je pravda, že pokud dva uzly a nejsou izotopické, pak existuje invariant konečného typu takový, že ?
Historie
Invarianty uzlů konečného typu navrhli nezávisle Vasiliev a Gusarov [1] koncem 80. let. Vasiliev vlastní první publikace na toto téma (1990), [1] Gusarov vystoupil na Rokhlinově semináři v roce 1987 a první publikace byla vydána až v roce 1991 [2] .
V roce 1992 měl Arnold přednášku na toto téma na Evropském matematickém kongresu . [3] Od té doby je termín „Vassiliev invarianty“ ustálený.
Poznámky
- ↑ V.A. Vassiliev. Cohomology of knot spaces // Advances in Soviet Math .. - 1990. - T. 1 . — S. 23–69 .
- ↑ M. N. Gusarov. Nová forma Conway-Jonesova polynomu orientovaných vazeb // Poznámky z vědeckých seminářů POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnold. Vasilievova teorie diskriminantů a uzlů // První evropský kongres matematiků. - 1992. - T. 1 . — s. 3–29 .
Literatura
- S. V. Duzhin , S. V. Chmutov Uzly a jejich invarianty // Matem. osvícení, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .