Obrázek osm (teorie uzlů)

Osm
Notový zápis
Conway [22]
Alexander-Briggs 4 1
Dowker 4, 6, 8, 2
Polynomy
Alexander
Jones  
Conway
Invarianty
Arfa invariant jeden
Délka copu čtyři
Počet vláken 3
Počet mostů 2
Počet filmů 2
Počet křižovatek čtyři
Rod jeden
Hyperbolický objem 2,02988
Počet segmentů 7
Rozvázat číslo jeden
Vlastnosti
Jednoduché , hyperbolické , střídavé , plně amfichirální , vrstvené , zkroucené
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

V teorii uzlů je osmička ( čtyřnásobný uzel nebo Listing uzel ) jediný uzel se čtyřmi průsečíky . Toto je nejmenší možný počet průsečíků, kromě triviálního uzlu a trojlístku . Osmička je jednoduchý uzel . Poprvé zvažoval Listing v roce 1847 .

Původ jména

Název pochází z domácího osmičkového uzlu na laně, jehož konce jsou spojeny.

Popis

Jednoduché parametrické znázornění osmičkového uzlu je dáno množinou bodů ( x , y , z ), pro které

kde t  je skutečná proměnná.

Osmička je jednoduchý , alternující , racionální uzel s odpovídající hodnotou 5/2. Je to také achirální uzel . Osmička je vrstvený uzel. To vyplývá z další, méně jednoduché (ale zajímavější) reprezentace uzlu:

  1. Uzel je homogenní [1] uzavřený cop (jmenovitě uzavření copu se 3 prameny σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ) a teorém Johna Stallingse ukazuje, že každý homogenní cop je upleten .
  2. Uzel je spojnicí v (0,0,0,0), izolovaným kritickým bodem skutečné polynomické mapy F : R 4 → R 2 , takže (podle věty Johna Milnora ) je Milnorova mapa F balík. Bernard Perron našel první takovou funkci F pro tento uzel, a to:

kde

.

Vlastnosti

Osmičkový uzel hrál historicky důležitou roli (a hraje ji) v teorii 3-variet . Někdy v polovině 70. let William Thurston ukázal, že osmička je hyperbolický uzel tím, že rozložil svůj doplněk na dva dokonalé hyperbolické čtyřstěny (Robert Riley a Troels Jørgensen, pracující nezávisle, již dříve ukázali, že osmička byla hyperbolická v jiném smysl). Tato v té době nová konstrukce ho dovedla k mnoha silným výsledkům a metodám. Například se mu podařilo ukázat, že kromě deseti Dehnových operací osmičkovém uzlu vedou k nerozložitelným 3 manifoldům , které nepřipouštějí Seifertovu fibraci To byl první takový výsledek. Mnoho dalších bylo objeveno zobecněním Thurstonovy konstrukce na jiné uzly a články.

Osmička je také hyperbolický uzel s nejmenším možným objemem 2,029 88…, podle práce Cho Chun a Roberta Meyerhoffa. Z tohoto pohledu lze osmičku považovat za nejjednodušší hyperbolický uzel. Doplněk G-8 je dvojitý kryt Giesekingova rozdělovače , který má nejmenší objem mezi nekompaktními hyperbolickými 3 rozdělovači.

Osmičkový uzel a krajkový uzel (−2,3,7) jsou dva hyperbolické uzly, pro které je známo více než šest speciálních operací , Dehnovy operace, které vedou k nehyperbolickým 3-manifoldům. Mají 10 a 7. Lackenby a Meyerhofův teorém, jehož důkaz se opírá o geometrizační teorém a použití počítačových výpočtů , uvádí, že 10 je maximální možný počet singulárních operací pro jakékoli hyperbolické uzly. Zatím se však nepodařilo zjistit, zda je osmička jediným uzlem, na kterém je dosaženo hranice 10. Známá domněnka tvrdí, že spodní hranicí (kromě dvou zmíněných uzlů) je 6.

Osmička tvoří singularitu v euklidovském prostorovém faktoru působením P2₁3 . Osmička je navíc jediným uzlem, který tvoří singularitu v euklidovském prostorovém faktoru nad krystalografickými grupami.

Invarianty

Alexandrův polynom osmi je

Conwayův polynom je

[2]

a Jonesův polynom je

Symetrie s ohledem na a v Jonesově polynomu odráží achiralitu osmičky.

Poznámky

  1. ↑ Opletení se nazývá homogenní, pokud je jakýkoli generátor buď vždy kladný, nebo vždy záporný.
  2. ↑ 4_1 Archivováno 9. února 2006 na Wayback Machine Knot Atlas

Literatura

Odkazy