Alexandrův polynom

Alexandrův polynom je invariant uzlu , který mapuje polynom s celočíselnými koeficienty na uzel libovolného typu. James Alexander jej objevil, první uzelový polynom v roce 1923. V roce 1969 představil John Conway verzi tohoto polynomu, nyní nazývanou Alexander-Conwayův polynom . Tento polynom lze vypočítat pomocí vztahu přadena , ačkoli jeho důležitost nebyla uznána až do objevu Jonesova polynomu v roce 1984. Brzy po Conwayově upřesnění Alexandrova polynomu se ukázalo, že podobný vztah přadena byl v Alexandrově článku pro jeho polynom [1] .

Definice

Nechť K je uzel na 3-kouli . Nechť X je nekonečné cyklické pokrytí doplňku uzlu K . Toto překrytí lze získat rozříznutím uzlového doplňku podél Seifertova povrchu uzlu K a nalepením nekonečného počtu kopií výsledného potrubí k hranici. Existuje krycí transformace t působící na X . Označte první skupinu celočíselné homologie X jako . Transformace t působí na tuto grupu, takže ji můžeme považovat za modul . Říká se tomu Alexandrův invariant nebo Alexandrův modul . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Tento modul je samozřejmě generován. Prezentační matice pro tento modul se nazývá Alexandrova matice . Jestliže počet generátorů r je menší nebo roven počtu relací s, pak uvažujme ideál generovaný minoritními hodnotami Alexandrovy matice řádu r . Toto je Fittingův nulový ideál nebo Alexanderův ideál a nezávisí na volbě prezentační matice. Jestliže r > s , nastavíme ideál rovný 0. Je-li Alexandrův ideál hlavní , pak se tvořící prvek tohoto ideálu nazývá Alexandrův polynom daného uzlu. Vzhledem k tomu, že generátor lze volit jedinečně až po násobení Laurentovým monomiem , často to vede k určité jedinečné formě. Alexander zvolil normalizaci, ve které má polynom kladný konstantní člen. $\pm t^{n}$

Alexandr dokázal, že Alexandrův ideál je nenulový a vždy hlavní. Alexandrův polynom tedy vždy existuje a je jasné, že se jedná o invariant uzlu, označovaný . Alexanderův polynom pro uzel tvořený jedním pramenem má stupeň 2 a pro zrcadlový obraz uzlu bude polynom stejný. $\Delta _{K}(t)$

Výpočet polynomu

Následující algoritmus pro výpočet Alexandrova polynomu uvedl ve svém článku J. V. Alexander.

Vezměte orientovaný diagram uzlu s n průsečíky. Oblastí grafu je n + 2. Abychom získali Alexanderův polynom, nejprve sestrojíme incidenční matici velikosti ( n , n + 2). n řádků odpovídá n průsečíkům a n + 2 sloupcům odpovídá plochám. Hodnoty prvků matice budou 0, 1, −1, t , − t .

Uvažujme prvek matice odpovídající nějaké ploše a průsečíku. Pokud oblast nesousedí s průsečíkem, prvek je 0. Pokud oblast sousedí s průsečíkem, hodnota prvku závisí na poloze. Obrázek vpravo ukazuje hodnotu prvků v matici pro průsečík (spodní řez uzlu je označen směrem průchodu, u horního na směru nezáleží). Následující tabulka nastavuje hodnoty prvků v závislosti na poloze oblasti vzhledem k podkladové čáře.

zleva ke křižovatce: − t vpravo na křižovatku: 1 vlevo za křižovatkou: t hned po přejezdu: −1

Vyškrtneme z matice dva sloupce odpovídající sousedním oblastem a vypočteme determinant výsledné matice n x n . V závislosti na tom, které sloupce budou odstraněny, se bude odpověď lišit faktorem . Abychom se vyhnuli nejednoznačnosti, vydělíme polynom největší možnou mocninou t a v případě potřeby vynásobíme −1, abychom získali kladný koeficient. Výsledným polynomem je Alexandrův polynom. $\pm t^{n}$

Alexanderův polynom lze vypočítat ze Seifertovy matice .

Po Alexanderově práci, R. Fox zvážil prezentaci skupiny uzlů , a navrhl non-komutativní výpočetní metoda [2] to také dovolí jednoho počítat . Podrobný výklad tohoto přístupu lze nalézt v Crowell & Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\obrácené lomítko K)$ $\Delta _{K}(t)$

Příklad konstrukce polynomu

Sestrojme Alexandrův polynom pro trojlístek . Obrázek ukazuje oblasti (A0, A1, A2, A3, A4) a průsečíky (P1, P2, P3) a také hodnoty položek v tabulce (v blízkosti průsečíků).

Alexandrův stůl pro trojlístek bude mít podobu:

Tečka	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-jeden	0	-t	t	jeden
P2	-jeden	jeden	-t	0	t
P3	-jeden	t	-t	jeden	0

První dva sloupce zahodíme a vypočteme determinant: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Vydělíme-li výsledný výraz číslem , získáme Alexandrův polynom pro jetel: . $-t$ $t^{2}-t+1$

Základní vlastnosti polynomu

Alexanderův polynom je symetrický: pro všechny uzly K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Z hlediska výše uvedené definice se jedná o vyjádření Poincarého izomorfismu , kde je kvocientová grupa pole zlomků kruhu , považovaných za -modul, a je konjugovaným -modulem k (jako abelovský skupina, je totožná s , ale krycí mapování funguje jako ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Navíc Alexandrův polynom nabývá hodnoty 1, modulo rovné jedné: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Z hlediska definice jde o vyjádření skutečnosti, že doplněk uzlu je homologický kruh , jehož první homologie je generována krycí transformací . Obecněji, if je 3-různý takový, že , má Alexandrův polynom definovaný jako ideál řádu nekonečného cyklického krycího prostoru. V tomto případě se až do znaménka rovná řádu torzní podskupiny .

t

M

\mathrm {rank} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Je známo, že každý Laurentův polynom s celočíselnými koeficienty, který je symetrický a má modulo 1 v bodě 1, je Alexanderovým polynomem nějakého uzlu [3] .

Geometrický význam polynomu

Protože Alexandrův ideál je hlavní právě tehdy, když je skupina uzlů dokonalá (jeho komutátor se shoduje s celou skupinou uzlů). $\Delta _{K}(t)=1$

Pro topologicky zkrácený uzel splňuje Alexanderův polynom Fox-Milnorovu podmínku , kde je nějaký jiný Laurentův polynom s celočíselnými koeficienty. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $f(t)$

Dvojitý rod uzlu je dole ohraničen stupněm Alexandrova polynomu.

Michael Friedman dokázal, že uzel na 3-kouli je topologicky zkrácený , tj. hranice „lokálně plochého“ topologického disku na 4-kouli, pokud je Alexandrův polynom uzlu triviální [4] .

Kaufman [5] popisuje konstrukci Alexandrova polynomu prostřednictvím součtů stavů fyzikálních modelů. Přehled tohoto přístupu, stejně jako další vazby na fyziku, je uveden v Kauffmanově článku ( Kauffman, 2001 ).

Existují také další spojení s povrchy a hladkou 4-rozměrnou topologií. Například za určitých předpokladů je přípustná operace na 4-varietě , ve které je okolí dvourozměrného torusu nahrazeno doplňkem uzlu vynásobeným S 1 . Výsledkem je hladký 4-variátní homeomorfní k původnímu, i když se Seiberg-Wittenův invariant mění (je násoben polynomem Alexandrova uzlu) [6] .

Je známo, že uzly se symetrií mají ohraničené Alexandrovy polynomy. Viz část o symetrii v Kawauchiho práci [3] . Alexandrův polynom však může postrádat některé symetrie, jako je silná reverzibilita.

Je-li doplňkem uzlu svazek nad kružnicí, pak je Alexandrovým polynomem uzlu monarenový (koeficienty vyšších a nižších členů se rovnají ). Nechť je svazek, kde je doplněk uzlu. Označte mapování monodromy jako . Potom , kde je indukované mapování v homologii. $\pm 1$ $S\to C_{K}\to S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\to S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\to H_{1}(S)$

Spojení se satelitními operacemi

Dovolit být satelitní uzel se satelitem , to znamená, že existuje takové vložení , že , Kde je neuzlovaný pevný torus obsahující . Pak . Zde je celé číslo, které představuje v . $K$ $K'$ $f:S^{1}\krát D^{2}\to S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\times \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\mathbb Z}$ $K'\subset S^{1}\times D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\krát D^{2})={\mathbb Z}$

Příklad: Pro spojený součet uzlů . Pokud je nekroucený dvojitý uzel Whitehead, pak . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Alexander-Conwayův polynom

Alexander ukázal, že Alexandrův polynom splňuje vztah přadena. John Conway to později znovu objevil v jiné podobě a ukázal, že vztah přadena spolu s volbou hodnoty v triviálním uzlu stačí k definování polynomu. Conwayova verze je polynom v z s celočíselnými koeficienty, označovaný a nazývaný Alexander-Conwayův polynom (a také Conwayův polynom nebo Conway-Alexanderův polynom ). $\nabla (z)$

Zvažte tři schémata orientovaných spojů . $L_{+}, L_{-}, L_{0}$

Conwayovy přadena:

$\nabla (O)=1$ (kde O je triviální diagram uzlu )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Souvislost se standardním Alexandrovým polynomem je dána vztahem . Zde musí být správně normalizováno (vynásobením ), aby vztah přadena držel . Všimněte si, že to dává Laurentův polynom v t 1/2 . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n{/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Souvislost s Khovanovovou homologií

V pracích Ozwata a Saba [7] a Rasmussena [8] je Alexandrův polynom prezentován jako Eulerova charakteristika komplexu, jehož homologie je izotopově invariantní vzhledem k uvažovanému uzlu , takže Floerova teorie homologie je kategorizací Alexandrův polynom. Podrobnosti naleznete v článku " Khovanov homology " [9] . $K$

Variace a zobecnění

Polynom HOMFLY je podobný, ale jemnější invariant uzlů a vazeb.

Poznámky

↑ Alexander popisuje vztah přadena na konci článku pod nadpisem „miscellaneous teorems“, což může být důvod, proč si jich nevšimli. Joan Bierman zmiňuje ve svém článku „ Nové úhly pohledu v teorii uzlů “ ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), č. 2, 253-287), že Mark Kidwell ji upozornil na Alexanderův poměr v roce 1970.
↑ Fox, 1961 .
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel a Stern (1997) - Uzly, spoje a 4-manifoldy . Získáno 9. června 2015. Archivováno z originálu 29. června 2021. (neurčitý)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Literatura

JW Alexander. Topologické invarianty uzlů a vazeb // Trans. amer. Matematika. soc. . - 1928. - T. 30 , čís. 2 . — S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Úvod do teorie uzlů . — Ginn a spol. po roce 1977 Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů. — Opravený dotisk originálu z roku 1994. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (přístupný úvod s využitím přístupu přadena)
R. Fox. Rychlý výlet teorií uzlů, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, editoval MKFort. — Englewoodské útesy. NJ: Prentice-Hall, 1961. s. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topologie 4-variet. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princetonská matematická řada). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Formální teorie uzlu. — Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Uzly a fyzika. — World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. Průzkum teorie uzlů. — Birkhauser, 1996. (pokrývá několik různých přístupů, vysvětluje vztahy mezi různými verzemi Alexandrova polynomu)
M. Chovanov. Homologie spojení a kategorizace . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Holomorfní disky a invarianty uzlů // Adv. Math., č., 58--6. - 2004. - T. 186 , čís. 1 . — s. 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Homologie květů a doplňky uzlů . - 2003. - S. 6378 . - . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Uzly a odkazy. — 2. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (vysvětluje klasický přístup pomocí Alexanderova invariantu; tabulka uzlů a vazeb s Alexandrovými polynomy)

Odkazy

Encyklopedie matematiky / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hlavní stránka a Alexander-Conwayův polynom , Atlas uzlů. - tabulka uzlů a vazeb s vypočítanými polynomy Alexandra a Conwaye

Teorie uzlů a vazeb
Hyperbolický	Osm ( 41 ) Tři poloviční otáčky (5 2 ) Stevedoring ( 61 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick ( 818 ) Pár Percos (10 161 ) Krajka (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Boromejské prsteny (63 2) L10a140
satelit	sloučenina ( babiy ) rovný Součet uzlů
torický	Triviální (0 1 ) Trojlístek ( 31 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Unlinked (02 1) Hopf (22 1) Šalamoun (42 1)
Invarianty	střídavé Arfa invariant Počet mostů ( 2 mosty ) Brunnianský odkaz Chiralita ( reverzibilní ) Počet filmů Počet křižovatek Vasiliev invariantní Hyperbolický objem Khovanovova homologie Rod Skupina uzlů Skupina ozubených kol Převodový poměr Polynomy ( Alexandr Kauffmanův držák HOMFLY Jones Kaufman ) Zasnoubení krajky Jednoduchý uzel ( seznam ) Počet segmentů Počet trikolorních zbarvení Počet a úkol rozvázání
Notace a operace	Notace Alexander–Briggs Conwayova notace Docker notace Mutace Reidemeister hnutí Skene poměr
jiný	Alexandrova věta Berge uzel copánková teorie Conwayova koule Dokončení uzlu Dvojitý torusový uzel Vrstvený uzel Páska Střih Součet uzlů Tateovy hypotézy Zkroucený Divoký Twist číslo Seifertův povrch