Seifertův povrch
V matematice je Seifertova plocha plocha, jejíž hranicí je daný uzel nebo spojení . Takové povrchy jsou často užitečné při studiu odpovídajícího uzlu nebo článku. Zejména mnoho invariantů uzlů se nejsnáze vypočítá pomocí něj. Seifertovy povrchy jsou samy o sobě zajímavé jako předměty studia. Pojmenována po Herbertu Seifertovi .
Definice
Nechť je krotký orientovaný uzel nebo odkaz ve 3D prostoru (nebo na 3D kouli). Seifertova plocha je kompaktní spojená orientovaná plocha zasazená do trojrozměrného prostoru tak, že její hranice je , a orientace na ploše indukuje původní orientaci na .
Zdůrazňujeme, že Seifertova plocha musí být orientována.
Příklady
- Každá kompaktní spojená orientovaná plocha s neprázdnou hranicí v trojrozměrném prostoru je Seifertovou plochou své hranice.
- Standardní Möbiův pás má triviální uzel jako svou hranici , ale není to jeho Seifertův povrch, protože Möbiův pás je neorientovatelný.
Typ uzlu
Seifertův povrch daného uzlu nebo článku není jednoznačně definován: stejný uzel (nebo článek) může mít několik různých Seifertových povrchů, minimální možný rod takového povrchu se nazývá rod uzlu , je jeho invariantní a je označeno .
Například:
- Rod triviálního uzlu je 0 (protože je to hranice disku); naopak, je-li rod uzlu nulový, pak je uzel triviální.
- Shamrock , stejně jako osmička , mají pohlaví 1.
- Rod torického uzlu typu se rovná .
- Stupeň Alexandrova polynomu je dolní hranicí pro dvojnásobek rodu uzlu.
Základní vlastností rodu je jeho aditivita vzhledem k spojenému součtu uzlů:
Odkazy
- Program SeifertView Archivováno 26. května 2010 na Wayback Machine - konstruování Seifertových povrchů pro různé uzly.