Chirální uzel

V teorii uzlů  je chirální uzel uzel , který není ekvivalentní jeho zrcadlovému obrazu. Orientovaný uzel ekvivalentní jeho zrcadlovému obrazu se nazývá amfichirální uzel nebo achirální uzel . Chiralita uzlu je invariant uzlu . Chiralita uzlů může být dále klasifikována podle toho, zda je reverzibilní nebo ne.

Existuje pouze 5 typů symetrií uzlů definovaných chiralitou a reverzibilitou – plně chirální, reverzibilní, pozitivně amfichirální ireverzibilní, negativně amfichirální ireverzibilní a plně amfichirální reverzibilní [1] .

Pozadí

Chiralita některých uzlů byla dlouho podezřelá a prokázána Maxem Dehnem v roce 1914. P. G. Tet se domníval, že všechny amfichirální uzly mají sudý počet průniků , ale Morven Thisluit v roce 1998 našel protipříklad [2] . Tateova domněnka však byla prokázána pro jednoduché střídavé uzly [3] .

• Oba možné jetele .

• Levý trojlístek.

• Správný trojlístek.

Nejjednodušší chirální uzel je trojlístek , jehož chiralitu ukázal Max Dehn . Všechny torusové uzly jsou chirální. Alexandrův polynom nemůže určit chiralitu uzlu, ale Jonesův polynom v některých případech ano. Jestliže V k ( q ) ≠  V k ( q −1 ), pak je uzel chirální, ale opak nemusí být nutně pravdivý. Polynom HOMFLY rozpoznává chiralitu ještě lépe, ale zatím není znám žádný invariant polynomického uzlu , který by chiralitu zcela definoval [4] .

Oboustranný uzel

Reverzibilní chirální uzel se nazývá bilaterální [5] . Mezi příklady oboustranných uzlů patří trojlístek.

Plně chirální uzel

Pokud uzel není ekvivalentní ani svému inverznímu , ani zrcadlovému obrazu, nazývá se plně chirální, příkladem je uzel 9 32 [5] .

Amfichirální uzel

Amfichirální uzel je uzel, který má α 3-sférický autohomeomorfismus , který obrátí orientaci a fixuje uzel jako sadu.

Všechny amfichirální střídání mají sudý počet průsečíků . První amfichirální uzel s lichým počtem křížení, konkrétně 15 křížení, nalezli Hoste et al [3] .

Plná amfichiralita

Pokud je uzel izotopický k jeho inverznímu a zrcadlovému obrazu, říká se, že je plně amfichirální. Nejjednodušším uzlem s touto vlastností je osmička .

Pozitivní amfichiralita

Pokud autohomeomorfismus α zachovává orientaci uzlu, mluví se o pozitivní amfichiralitě. To je ekvivalentní izotopii uzlu k jeho zrcadlovému obrazu. Žádný z uzlů s méně než dvanácti průsečíky není pozitivně amfichirální [5] .

Negativní amfichiralita

Pokud autohomeomorfismus α obrátí orientaci uzlu, mluví se o negativní amfichiralitě. To je ekvivalentní izotopii uzlu v obráceném zrcadlovém obrazu. Uzel s touto vlastností s minimálním počtem průsečíků je 8 17 [5] .

Poznámky

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998 , s. 33-48.
2. ↑ Jablan, Slavík & Sazdanovic, Radmila. „ Historie teorie uzlů a určité aplikace uzlů a odkazů archivované 20. srpna 2011 na Wayback Machine “ , LinKnot .
3. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld . Přístup: 5. května 2013.
4. ↑ „Chiralita uzlů 9 42 a 10 71 a teorie Chern-Simons“ od P. Ramadevi, TR Govindarajan a RK Kaul
5. ↑ 1 2 3 4 Atlas uzlů trojrozměrných invariantů

Literatura

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. Prvních 1 701 936 uzlů // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , no. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Archivováno z originálu 15. prosince 2013.