V teorii uzlů je chirální uzel uzel , který není ekvivalentní jeho zrcadlovému obrazu. Orientovaný uzel ekvivalentní jeho zrcadlovému obrazu se nazývá amfichirální uzel nebo achirální uzel . Chiralita uzlu je invariant uzlu . Chiralita uzlů může být dále klasifikována podle toho, zda je reverzibilní nebo ne.
Existuje pouze 5 typů symetrií uzlů definovaných chiralitou a reverzibilitou – plně chirální, reverzibilní, pozitivně amfichirální ireverzibilní, negativně amfichirální ireverzibilní a plně amfichirální reverzibilní [1] .
Chiralita některých uzlů byla dlouho podezřelá a prokázána Maxem Dehnem v roce 1914. P. G. Tet se domníval, že všechny amfichirální uzly mají sudý počet průniků , ale Morven Thisluit v roce 1998 našel protipříklad [2] . Tateova domněnka však byla prokázána pro jednoduché střídavé uzly [3] .
Počet křižovatek | 3 | čtyři | 5 | 6 | 7 | osm | 9 | deset | jedenáct | 12 | 13 | čtrnáct | patnáct | 16 | sekvence OEIS |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Chirální uzly | jeden | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | N/A |
Oboustranné uzly | jeden | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | A051769 |
Zcela chirální uzly | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | A051766 |
Amfichirální uzly | 0 | jeden | 0 | jeden | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | jeden | 1539 | A052401 |
Pozitivně amfichirální uzly | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | jeden | 0 | 6 | 0 | 65 | A051767 |
Negativně amfichirální uzly | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | jeden | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | jeden | 1361 | A051768 |
Plně amfichirální uzly | 0 | jeden | 0 | jeden | 0 | čtyři | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | A052400 |
Levý trojlístek.
Správný trojlístek.
Nejjednodušší chirální uzel je trojlístek , jehož chiralitu ukázal Max Dehn . Všechny torusové uzly jsou chirální. Alexandrův polynom nemůže určit chiralitu uzlu, ale Jonesův polynom v některých případech ano. Jestliže V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), pak je uzel chirální, ale opak nemusí být nutně pravdivý. Polynom HOMFLY rozpoznává chiralitu ještě lépe, ale zatím není znám žádný invariant polynomického uzlu , který by chiralitu zcela definoval [4] .
Reverzibilní chirální uzel se nazývá bilaterální [5] . Mezi příklady oboustranných uzlů patří trojlístek.
Pokud uzel není ekvivalentní ani svému inverznímu , ani zrcadlovému obrazu, nazývá se plně chirální, příkladem je uzel 9 32 [5] .
Amfichirální uzel je uzel, který má α 3-sférický autohomeomorfismus , který obrátí orientaci a fixuje uzel jako sadu.
Všechny amfichirální střídání mají sudý počet průsečíků . První amfichirální uzel s lichým počtem křížení, konkrétně 15 křížení, nalezli Hoste et al [3] .
Pokud je uzel izotopický k jeho inverznímu a zrcadlovému obrazu, říká se, že je plně amfichirální. Nejjednodušším uzlem s touto vlastností je osmička .
Pokud autohomeomorfismus α zachovává orientaci uzlu, mluví se o pozitivní amfichiralitě. To je ekvivalentní izotopii uzlu k jeho zrcadlovému obrazu. Žádný z uzlů s méně než dvanácti průsečíky není pozitivně amfichirální [5] .
Pokud autohomeomorfismus α obrátí orientaci uzlu, mluví se o negativní amfichiralitě. To je ekvivalentní izotopii uzlu v obráceném zrcadlovém obrazu. Uzel s touto vlastností s minimálním počtem průsečíků je 8 17 [5] .