Izotopie

Izotopie je homotopie , pro kterou je zobrazení pro všechny homeomorfismus na . $f_{t}:X\to Y,t\in [0,1]$ $t$ $f_t$ $X$ $f(X)\subset Y$

Definice

Izotopie manifoldu je hladké zobrazení takové, že každý je diffeomorfismus , kde a nezávisí na v některých sousedstvích 0 a 1 ( je mapování identity ). $M$ $f:[0,1]\krát M\to M$ $f_{t}:M\to M$ $f_{t}(x)=f(t,x)$ ${\displaystyle f_{t))$ $t$ ${\displaystyle f_{t))$

O izotopii se říká, že je ekvivalentní, pokud se mění se skupinovou akcí. Přesněji, pokud kde Předpokládá se, že skupina působí hladce na . $F$ $f^{G}=M,$ $f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And \,g \in G\}.$ $G$ $M$

Množina je uzavřený invariantní podprostor variety (podprostor izotopické ekvivariance ). $f^{G}$ $M$ $F$

Související definice

Krycí (nebo uzavírající ) izotopie pro izotopiije taková prostorová izotopie, že $f_{t}:X\to Y$ $F_{t}:Y\to Y$ ${\displaystyle F_{t}|_{X}\equiv f_{t))$
O dvou vloženích se říká, že jsou izotopové , pokud existuje krycí izotopie, pro kterou . $f_{0},f_{1}:X\to Y$ $F_{t}:Y\to Y$ $F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)$
Prostory a jsou považovány za izotopově ekvivalentní nebo prostory stejného typu izotopy, pokud existují takové vložení , že kompozice a jsou izotopické vůči mapám identity. $X$ $Y$ $f:X\to Y,\ g:Y\to X$ $g\circ f:X\to X$ $f\circ g:Y\to Y$
- Pokud jsou prostory homeomorfní, pak jsou izotopicky ekvivalentní, ale existují nehomeomorfní prostory stejného izotopického typu, například -dimenzionální koule a stejná koule s úsečkou přilepenou k jejímu povrchu (jeden z jejích konců). $n$
- Jakýkoli homotopický invariant je izotopický invariant, ale existují izotopické invarianty, jako je dimenze , které nejsou homotopie.

Vlastnosti

Izotopie je vztah ekvivalence .
Hladká izotopie se vždy rozšiřuje na hladkou krycí izotopii
Existují difeomorfismy sféry na sebe, které jsou neizotopické vůči identitě; tato skutečnost souvisí s existencí netriviálních diferenciálních struktur na sférách dimenze . $S^{n}$ $n+1$