Orientace

Orientace , v klasickém případě - volba jedné třídy souřadnicových systémů , které jsou v určitém smyslu „pozitivně“ propojeny. Každý systém určuje orientaci definováním třídy, do které patří.

V elementární matematice je orientace často popisována v termínech „ve směru a proti směru hodinových ručiček“.

Orientace je definována pouze pro určité speciální třídy prostorů ( manifoldy , vektorové svazky , Poincareovy komplexy atd.). Moderní pohled na orientaci je podán v rámci zobecněných kohomologických teorií .

Vektorový prostor konečných rozměrů

V případě vektorového prostoru konečného rozměru nad polem reálných čísel jsou dva souřadnicové systémy považovány za kladně spojené, pokud je determinant přechodové matice z jednoho z nich do druhého kladný.

Poznámky

Pro obecný obor představuje určení orientace potíže. Například v komplexním prostoru komplexní báze určuje reálnou bázi ve stejném prostoru, uvažovanou jako , a všechny takové báze jsou spojeny v párech kladnými přechody (jinými slovy, komplexní struktura definuje orientaci v ). ${\mathbb C}^{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Variace a zobecnění

Afinní prostor

Na přímce, rovině a obecně v reálném afinním prostoru se souřadnicové systémy skládají z bodu (počátek ) a rámce , přechod je určen vektorem přenosu počátku a nahrazením rámce. Tento přechod je kladný, pokud je determinant náhradní matice kladný (například pokud je permutace vektorů snímků sudá). $A$ $Ó$ $\{e_{i}\}$

Dva souřadnicové systémy definují stejnou orientaci, pokud lze jeden z nich plynule převádět na druhý, to znamená, že existuje rodina souřadnicových systémů spojitě závislá na parametru , , spojující dané systémy , a , . $t\in[0,1]$ $O(t)$ $\{e_{i}(t)\}$ $Ó$ $\{e_{i}\}$ $Ó'$ $\{e'_{i}\}$

Při odrazu v nadrovině přecházejí systémy dvou tříd do sebe.

Orientaci lze určit pořadím vrcholů -rozměrného simplexu ( trojúhelník ve dvourozměrném případě, čtyřstěn v trojrozměrném případě), Rám je určen podmínkou: začátek je umístěn na první vrchol, vektory rámce směřují do zbytku z prvního. Dva řády definují stejnou orientaci právě tehdy, když se liší sudou permutací . Simplex s pevným pořadím vrcholů až do sudé permutace se říká orientovaný. Každá -plocha orientovaného simplexu obdrží indukovanou orientaci: pokud první vrchol nepatří žádné ploše, pak se předpokládá, že pořadí ostatních je pro něj kladné. $n$ $(n-1)$

Odrůdy

V propojené manifoldu je souřadnicovým systémem atlas , soubor map, které pokrývají . Říká se, že atlas je orientační, pokud jsou všechny transformace souřadnic kladné. To znamená, že jejich stupně jsou stejné a v případě diferencovatelné různosti jsou jakobiáni transformace kladní ve všech bodech. Existuje-li orientační atlas, pak se o manifoldu říká , že je orientovatelný . V tomto případě spadají všechny orientační atlasy do dvou tříd, takže přechod od map jednoho atlasu k mapám druhého je pozitivní právě tehdy, když atlasy patří do stejné třídy. Volba takové třídy se nazývá orientace manifoldu. Tuto volbu lze provést zadáním jedné mapy nebo místní orientace v bodě. V případě diferencovatelného rozdělovače lze místní orientaci určit určením rámce v tečné rovině v bodě. Pokud má hranu a je orientovaná, pak je hrana také orientovatelná např. podle pravidla: v hranovém bodě se vezme snímek, který orientuje , jehož první vektor směřuje z , zbylé vektory leží v tečné rovině hrany jsou tyto brány považovány za orientační rámec hrany. $M$ $M$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $M$

Dezorientující obrys

Dezorientující obrys je uzavřená křivka v manifoldu , která má tu vlastnost, že při jejím projetí se místní orientace změní znaménkem.

Dezorientující obrys existuje pouze v neorientovatelné manifoldu a homomorfismus základní skupiny s jádrem sestávajícím z nedezorientujících tříd smyčky je jednoznačně definován . $M$ $\pi _{1}(M)$ $\mathbb Z_2$

Podél jakékoli cesty si můžete vybrat řetězec karet tak, aby dvě sousední karty byly pozitivně spojeny. Orientace v bodě tedy určuje orientaci v bodě a tento vztah závisí na dráze pouze do její souvislé deformace na pevných koncích. Jestliže je smyčka, to znamená , pak se nazývá dezorientující obrys , pokud jsou tyto orientace opačné. Existuje homomorfismus základní skupiny do skupiny řádu : dezorientační smyčky jdou do a zbytek do . Tento homomorfismus se používá ke konstrukci krytu , který je dvouvrstvý v případě neorientovatelného potrubí. Říká se tomu orientace (protože krycí prostor bude orientovatelný). Stejný homomorfismus definuje přes jednorozměrný svazek , který je triviální právě tehdy, když je orientovatelný. Pro diferencovatelný může být definován jako svazek diferenciálních objednávkových forem . Nenulový řez v něm existuje pouze v orientovatelném případě a nastavuje tvar objemu a zároveň orientaci. $q:[0,1]\to M$ $q(0)$ $q(1)$ $q$ $q$ $q(0)=q(1)=x_{0}$ $q$ $\pi _{1}(M,x_{0})$ $2$ $-jeden$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $\Omega ^{n}(M)$ $n=\jméno operátora {dim}M$ $M$

V jazyce homologie

Orientaci lze definovat v homologickém jazyce : pro připojenou orientovatelnou rozdělovači bez hranic je skupina homologie (s uzavřenými podporami) izomorfní a výběr jednoho ze dvou generátorů nastavuje orientaci - volí se mapy s kladnými stupni zobrazení. Pro připojený rozdělovač s hranicí platí totéž pro . V prvním případě je orientabilita homotopickým invariantem M a ve druhém případě páry . Takže Möbiův proužek a prsten mají stejný typ absolutní homotopie, ale odlišný - s ohledem na okraj. $H^{n}(M,\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$ $H^{n}(M,\částečné M,\mathbb{Z} )$ $(M,\částečné M)$

Lokální orientaci variety lze také zadat výběrem generátoru ve skupině , která je izomorfní.Homologická interpretace orientace nám umožňuje přenést tento koncept na zobecněné homologické variety. $H^{n}(M,M\obrácené lomítko x_{0},\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$

Pseudomanifoldy

Triangulovaná varieta (nebo pseudomanifold ) je orientovatelná, pokud je možné orientovat všerozměrné simlice tak, že dvě simlice se společnou -rozměrnou plochou na ní vyvolávají opačné orientace. Uzavřený řetězec -dimenzionálních zjednodušení , ve kterém mají všichni dva sousedé společnou tvář, se nazývá dezorientační, pokud lze tyto zjednodušení orientovat takovým způsobem, že první a poslední simplice vyvolávají shodné orientace na společné ploše a ostatní sousedé vyvolat opačné orientace. $M$ $n$ $(n-1)$ $n$ $(n-1)$

Svazky

Nechte nad prostorem dát svazek se standardním vláknem . Pokud lze orientaci všech vláken zvolit tak, že jakékoli (správné) mapování definované jedinečnou cestou až do správné homotopie zachová orientaci, pak se svazek nazývá orientovaný a naznačená volba orientace vrstev se nazývá orientace. orientaci svazku. Například Möbiův pás , považovaný za vektorový svazek nad kruhem, nemá žádnou orientaci, zatímco boční povrch válce ano. $B$ $p:E\to B$ $F$ $B$

Nekonečně-rozměrné prostory

Pojem orientace připouští přirozené zobecnění pro případ nekonečněrozměrné variety modelované pomocí nekonečněrozměrného Banachova nebo topologického vektorového prostoru . Zároveň jsou potřeba omezení na lineární operátory , které jsou diferenciály přechodových funkcí z mapy do mapy: musí nejen patřit do obecné lineární skupiny všech izomorfismů modelovacího prostoru, což je homotopie triviální (v jednotné topologii ) pro většinu klasických vektorových prostorů , ale musí být obsažen v nějaké lineárně odpojené podgrupě obecné lineární grupy. Potom připojený komponent této podskupiny nastaví "znaménko" orientace. Jako taková podgrupa se obvykle volí Fredholmova grupa , sestávající z těch izomorfismů modelovacího prostoru, pro které je rozdíl s identickým izomorfismem zcela spojitý operátor .