Pás Mobius

Möbiův pás ( Möbiův pás , Möbiova smyčka ) je topologický objekt, nejjednodušší neorientovatelný povrch s hranicí, jednostranný při zasazení do obvyklého trojrozměrného euklidovského prostoru . $\mathbb {R} ^{3}$

Předpokládá se, že Möbiův pás byl objeven nezávisle německými matematiky Augustem Ferdinandem Möbiem a Johannem Benedictem Listingem v roce 1858, ačkoli podobná struktura je zobrazena na římské mozaice ze 3. století našeho letopočtu [1] [2] .

Model proužků Mobius lze snadno vyrobit: musíte vzít dostatečně dlouhý papírový proužek a slepit opačné konce proužku do kroužku, přičemž jeden z nich nejprve otočte. V trojrozměrném euklidovském prostoru existují dva typy Möbiových pásů v závislosti na směru kroucení: pravý a levý.

Eulerova charakteristika Möbiova pásu je nulová.

Rovnice

Jedním ze způsobů, jak reprezentovat Möbiův pás jako podmnožinu , je parametrizace: $\mathbb {R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

kde a . Tyto vzorce definují Möbiův pás o šířce 1, jehož středový kruh má poloměr 1, leží v rovině se středem v . Parametr běží podél pásky a nastavuje vzdálenost od okraje. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $xy$ $\left(0,\;0,\;0\right)$ $u$ $proti$

Ve válcových souřadnicích může být neomezená verze Möbiova pásu reprezentována rovnicí: $\left(r,\;\theta ,\;z\right)$

\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2)),

kde logaritmus má libovolnou základnu.

Vlastnosti

Hranice Möbiova pásu se skládá z jediné uzavřené křivky.
Topologicky lze Möbiův pás definovat jako faktorový prostor čtverce s ohledem na vztah ekvivalence pro . $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
Möbiův proužek je také prostorem netriviální fibrace nad kruhem s úsečkou vlákna.
Möbiův pás lze umístit tak, že ohraničení je dokonalý kruh. Jedním ze způsobů je aplikovat stereografickou projekci na Kleinovu láhev ponořenou do 3D koule . Myšlenka je tato: nechť je jednotka kruh v rovině na . Spojením protilehlých bodů na (tedy bodů pod úhly a ) s obloukem kružnice dostaneme, že pro mezi a oblouky leží nad rovinou , a pro ostatní - pod (navíc na dvou místech leží oblouky v letadlo ). $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $xy$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $\theta$ $\theta +\pi$ $\theta$ $0$ $\pi /2$ $xy$ $\theta$ $xy$
- Jakýkoli disk, který se přilepí na hraniční kruh, však nevyhnutelně překročí Möbiův pás.
Příkladem zapuštění Möbiova pásu je povrch daný rovnicí $\mathbb {C} ^{2}$

z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Zde se parametr změní z 0 na . Hranicí této plochy je kruh . Stereografická projekce vede k vložení s hranicí, která je přesně kruhem.

\eta

\pi

z_{1}=0,|z_{2}|=1

\mathbb {R} ^{3}

Otevřené otázky

Jaké je minimum , aby se z obdélníku s menší stranou 1 a větší stranou k (papír nesmí mačkat) složit Möbiův pruh, který se sám neprotíná ? Prokázaný spodní odhad je , horní odhad je [3] . $k$ ${\frac {\pi }{2))$ ${\sqrt {3}}$
Existuje vzorec, který popisuje Möbiův proužek získaný složením plochého listu papíru? Výše uvedené vzorce popisují povrch, který nelze složit z listu papíru, protože má negativní zakřivení; otázkou je, zda lze podobným způsobem popsat povrch s nulovou křivostí? [čtyři]
- Je obtížnější najít tvar, který také minimalizuje pružnou ohybovou energii. Řešení tohoto problému, které poprvé nastolil M. Sadowsky v roce 1930, bylo publikováno v roce 2007 [5] . Řešení však není popsáno algebraickým vzorcem a je nepravděpodobné, že takový vzorec vůbec existuje. Pro nalezení tvaru prostorové rovnováhy Möbiova papírového proužku je nutné vyřešit okrajovou úlohu pro systém diferenciálně-algebraických rovnic .

Pokud je páska přestřižena

Pokud je proužek řezán podél čáry stejně vzdálené od okrajů, získá se místo dvou Möbiových proužků jeden dlouhý oboustranný (kroucený plný kruh) proužek. Tato vlastnost Möbiovy kapely je od roku 1904 využívána ve starém triku zvaném „Afghan Bands“ [6] ( angl. The Afghan Bands ) [7] , popisuje ji i Norbert Wiener v I Am a Mathematician (1956) [ 8] a Martin Gardner v Mathematics, Magic and Mystery (1956), posledně jmenovaný také uvádí, že nejstarší zmínka o použití Möbiova pásu pro kouzelnické triky pochází z roku 1882 [9] . Pokud je výsledná páska řezána podél středu, získají se dvě takové pásky, navinuté na sebe.
Pokud Möbiův pás uříznete, ustoupíte od okraje asi o třetinu jeho šířky, získáte dva pásy, jeden je kratší Möbiův pás, druhý je dlouhý pás se dvěma půlzávity [10] .
Jiné kombinace pásů mohou být vyrobeny z pásů se dvěma nebo více polovičními otáčkami. Pokud například přestřihnete stuhu třemi polovičními otáčkami, získáte stuhu stočenou do trojlískového uzlu . Část pásky s dalšími otáčkami poskytuje neočekávaná čísla, nazývaná paradromické kruhy .

Umění a technologie

Möbiův pás sloužil jako inspirace pro sochy a pro grafiku. Escher byl jedním z umělců, kteří to měli obzvlášť rádi a věnoval několik svých litografií tomuto matematickému objektu. Jeden z těch slavných, „Möbiův pás II“ [11] , ukazuje mravence plazící se po povrchu Möbiova pásu.

Möbiův pás je emblémem řady populárně-vědeckých knih " Knihovna "Quantum" ". To je také periodické ve sci-fi , takový jak v Arthur C. Clarke je povídka “zeď šera”. Někdy sci-fi příběhy (po teoretických fyzikech) naznačují, že náš vesmír může být nějakým zobecněným Möbiovým pásem. Také Möbiův prsten je neustále zmiňován v dílech uralského spisovatele Vladislava Krapivina , cyklu „ V hlubinách Velkého krystalu “ (např. „Výhrada na Kotevním poli. Příběh“). V povídce A. J. Deitche „ Moebius Strip“ staví bostonské metro novou linku, jejíž trasa se stává tak nepřehlednou, že se z ní stává Mobiův pás, po kterém začnou na této trati mizet vlaky. Na základě příběhu byl natočen fantasy film " Mobius " režiséra Gustava Mosquery. Také myšlenka Möbiova pásu je použita v příběhu M. Cliftona „Na Möbiově pásu“.

V roce 1987 nahrál sovětský jazzový pianista Leonid Chizhik album Moebius Tape, které obsahovalo i stejnojmennou skladbu.

Existují technické aplikace Möbiova pásu. Pás dopravníkového pásu vyrobený ve formě Möbiova pásu vydrží déle, protože se celý povrch pásu rovnoměrně opotřebovává. Souvislé páskové systémy také používají Möbiovy pásy (pro zdvojnásobení doby záznamu). V mnoha jehličkových tiskárnách má barvicí páska také podobu Möbiova proužku, aby se zvýšil její zdroj.

Nad vchodem do Institutu CEMI RAS je také mozaikový vysoký reliéf „Möbiův pruh“ od architekta Leonida Pavlova [12] ve spolupráci s umělci E. A. Zharenovou a V. K. Vasiltsovem (1976) [13] .

Někdy se věří, že Möbiův pás je prototypem symbolu nekonečna , ale ten se objevil o dvě století dříve [14] . $\infty$

Variace a zobecnění

Blízký jednostranný povrch je Kleinův flakon . Kleinovu láhev lze získat nalepením dvou Möbiových proužků podél okrajů. V běžném trojrozměrném euklidovském prostoru je nemožné to udělat bez vytvoření vlastních průniků.
Další podobný různý je projektivní rovina . Pokud prorazíte díru v projektivní rovině, pak zůstane Möbiův pás. Na druhou stranu, pokud přilepíte disk k Möbiovu proužku a shoduje se s jejich hranicemi, výsledkem bude projektivní rovina.

Viz také

Poznámky

↑ Larison, Lorraine L. (1973). „Möbiova kapela v římských mozaikách“. Americký vědec . 61 (5): 544-547. Bibcode : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan H.E.; González, Diego L. (2016). „Möbius se svléká před Möbiem: topologické rady ve starověkých reprezentacích“. Matematický zpravodaj . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609.07779 . Bibcode : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Pás Fuchse D. Möbiuse. Variace na staré téma Archivováno 15. listopadu 2011 na Wayback Machine // Kvant, č. 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (anglicky) // Archiv der Mathematik : journal. - 1996. - Sv. 66 . - str. 511-521 .
↑ Starostin. EL , van der Heijden GHM Tvar Möbiova proužku (anglicky) // Nature Materials : journal. - 2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. Profesor, který neměl žádné stránky. Poznámky autora // Věda a život . - 1977. - č. 5 . - S. 127 . (Ruština)
↑ Profesor Hoffmann. Později magie . - New York, Londýn: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - S. 471-473.
↑ Norbert Wiener. Jsem matematik . - Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. - S. 26-27 . V ruském překladu: Norbert Wiener. Jsem matematik / Per. z angličtiny. Yu.S. Rodman. - 2. vyd. - M .: Science , 1967. - S. 19-20.
↑ Martin Gardner. Matematika, magie a záhady . - New York: Dover Publications, 1956. - S. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Udělej si sám topologické experimenty Archivní kopie z 8. června 2016 na Wayback Machine // Kvant, č. 3, 1974
↑ M. C. Escher - Mobius Strip II . Získáno 5. října 2014. Archivováno z originálu 6. října 2014. (neurčitý)
↑ Průvodce výpočtem . Datum přístupu: 12. prosince 2015. Archivováno z originálu 22. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Architektka Maria Serova - o "domě s uchem" Leonida Pavlova - Vesnice - Vesnice . Datum přístupu: 12. prosince 2015. Archivováno z originálu 22. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Möbiův pás // Časopis "Víkend" č. 10 (106) ze dne 20.03.2009 . Získáno 4. srpna 2012. Archivováno z originálu dne 4. srpna 2012. (neurčitý)

Literatura

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz homotopické topologie.— M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Matematické zázraky a tajemství. - M.: Nauka, 1978.

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	GND : 1106880307

Kompaktní povrchy a jejich ponoření do trojrozměrného prostoru

Třída homeoformity kompaktního triangulovaného povrchu je určena orientovatelností, počtem hraničních složek a Eulerovou charakteristikou.

žádná hranice

Orientační	Koule (rod 0) Thor (rod 1) "Osm" (rod 2) " Preclík " (rod 3) ...
Neorientovatelný	Skutečná projektivní rovina rod 1; Bojová plocha římský povrch Kleinova láhev (rod 2) Povrch ptáka (rod 3) ...

s okrajem

Disk
- polokoule
Stuha
- Prsten
- Válec
Pás Mobius
- Möbiův pás
Koule se třemi otvory...

Související
pojmy

Vlastnosti	Konektivita kompaktnost Triangulace nebo hladkost Orientovatelnost
Charakteristika	Počet prvků ohraničení Rod Eulerova charakteristika
Operace	Připojený součet řezání otvorů Přilepení rukojeti Připevnění Möbiova proužku Ponoření