3D koule

Trojrozměrná koule ( trojrozměrná hypersféra , někdy 3-koule ) je koule ve čtyřrozměrném prostoru . Skládá se ze sady bodů stejně vzdálených od pevného centrálního bodu ve čtyřrozměrném euklidovském prostoru . Stejně jako dvourozměrná koule, která tvoří hranici koule ve třech rozměrech, má 3-koule tři rozměry a je hranicí čtyřrozměrné koule.

Rovnice

V kartézských souřadnicích může být rovnicí dána trojrozměrná koule o poloměru $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Vzhledem k tomu, že komplexní prostor je skutečný , lze na rovnici koule pohlížet jako na $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\vpravo\}.

Podobně v kvaternionovém prostoru : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Trojrozměrná koule může být definována parametricky pomocí tří souřadnic, protože jde o trojrozměrnou varietu. Příkladem jsou hypersférické souřadnice:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Vlastnosti

Trojrozměrná koule je hranice čtyřrozměrné koule. $S^{3}$

Trojrozměrná koule je kompaktní propojená trojrozměrná manifold . Trojrozměrná koule je jednoduše spojena , to znamená, že jakákoli uzavřená křivka na ní může být plynule stažena do bodu.

Trojrozměrná koule je homeomorfní k jednobodovému zhutnění trojrozměrného reálného prostoru . $\mathbb {R} ^{3}$

Struktura skupiny

Trojrozměrná koule, která je sadou jednotkových čtveřic, zdědí skupinovou strukturu.

Koule je tedy Lieova grupa . Mezi - dimenzionální sféry mají tuto vlastnost pouze a . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

Pomocí maticové reprezentace quaternionů lze definovat reprezentaci skupiny pomocí Pauliho matic : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Proto je grupa izomorfní k matici Lie grupa . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}} (2)$

Působení skupiny U(1) a Hopfova fibrace

Pokud definujete skupinovou akci : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

pak je prostor oběžných drah homeomorfní pro dvourozměrnou kouli . V tomto případě na kouli vzniká svazková struktura se základnou a vrstvami, které jsou homeomorfní , tedy kruhy . Tento svazek se nazývá Hopfův svazek . [jeden] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

Hopfův svazek je příkladem netriviálního hlavního svazku. V souřadnicích je dán vzorcem

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

Bod ( z 1 , z 2 ) koule je mapován do bodu [ z 1 : z 2 ] komplexní projektivní přímky CP 1 , která je difeomorfní k dvourozměrné kouli . $S^{3}$ $S^{2}$

Homotopické skupiny koule

Jednoduchá spojitost koule znamená, že první homotopická grupa . Také nula je skupina . $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$

Poznámky

↑ Postnikov M. M. Přednášky o algebraické topologii, str. 20. - Moskva, Nauka, 1984.

Viz také

Poincareho domněnka

Literatura

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. - M. , 1989.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Hypersphere (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld . (eng.) Poznámka : Tento článek používá alternativní schémata pojmenování koulí, ve kterých se koule v N - rozměrném prostoru nazývá N - koule.