Hladké potrubí

Hladký rozdělovač je rozdělovač obdařený hladkou strukturou . Hladké rozvody jsou přirozeným základem pro konstrukci diferenciální geometrie . Na diferenciálních varietách jsou zavedeny další infinitezimální struktury - tečný prostor , orientace, metrika, spojení atd. a studují se vlastnosti spojené s těmito objekty, které jsou invariantní ve skupině difeomorfismů , které zachovávají další strukturu.

Definice

Nechť je Hausdorffův topologický prostor . Jestliže pro každý bod existuje jeho okolí , homeomorfní k otevřené podmnožině prostoru , pak se nazývá lokálně euklidovský prostor nebo topologická rozmanitost dimenze . $X$ $x\in X$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $n$

Dvojice , kde je indikovaný homeomorfismus, se nazývá lokální graf v bodě . Každý bod tedy odpovídá množině reálných čísel , kterým se v mapě říká souřadnice . Soubor map se nazývá rozmanitý atlas , pokud: $(U,\phi )$ $\phi$ $X$ $X$ $n$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $(U,\phi )$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $X$

souhrn všech krytů , tzn. $U_{\alpha }$ $X$ $X=\pohár _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
pro jakékoli takové, že mapování: $\alpha ,\beta \v A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta } (U_{\alpha }\cap U_{\beta })

je hladké mapování třídy ;

C^k

{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))

je mapování s nenulovým jakobiánem a nazývá se mapováním slepení mapy do mapy

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta },\phi _{\beta }).

Dva -atlasy jsou považovány za ekvivalentní , pokud jejich spojení opět tvoří -atlas. Sada -atlasů je rozdělena do tříd ekvivalence, nazývaných - struktury , pro - diferenciální (neboli hladké) struktury. $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

Topologická varieta vybavená -strukturou se nazývá hladká varieta . $X$ $C^k$ $C^k$

Poznámky

Pokud jsou navíc lepicí mapy analytické , pak tato definice poskytuje analytickou strukturu, někdy označovanou jako -structure. $C^{a}$

Komplexní rozdělovače

Problémy analytické a algebraické geometrie vedou k nutnosti uvažovat v definici diferenciální struktury místo prostoru obecnějších prostorů nebo dokonce , kde je úplné nediskrétní normované pole. Takže v případě uvažujeme holomorfní ( analytické komplexní) -struktury ( ) a odpovídající hladké variety — komplexní variety . Kromě toho má každé takové potrubí také přirozenou skutečnou analytickou strukturu. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Kompatibilní struktury

Na jakékoli analytické varietě existuje -struktura, která je s ní v souladu, a na -varině, , -struktura if . Naopak, jakákoli parakompaktní varieta, , může být vybavena analytickou strukturou kompatibilní s danou, a tato struktura (až do izomorfismu ) je jedinečná. Může se však stát, že -manifold nemůže být vybaven -strukturou, a pokud se to podaří, pak taková struktura nemusí být jedinečná. Například počet -ne -izomorfních -struktur na -rozměrné sféře je: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ $\theta (n)$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12
$\theta (n)$	jeden	jeden	jeden		jeden	jeden	28	2	osm	6	992	jeden

Displeje

Dovolit být spojité zobrazení -variet ; nazývá se -morfismus (nebo -mapování, , nebo mapování třídy ) hladkých variet, pokud pro jakýkoli pár grafů na X a na Y , jako je mapování: $f:X\to Y$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ $f(U_{\alpha })\podmnožina V_{\beta }$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta })

patří do třídy . Bijektivní zobrazení , pokud jsou -maps , se nazývá izomorfismus (nebo diffeomorfismus ). V tomto případě a a jejich -struktury se říká , že jsou -izomorfní. $C^k$ $F$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $X$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Podmnožiny a vložení

Podmnožina -dimenzionální -variety se nazývá - podvarieta dimenze v případě, že pro libovolný bod existuje mapa -struktury taková, že a indukuje homeomorfismus s (uzavřeným) podprostorem ; jinými slovy, existuje mapa se souřadnicemi , taková, která je určena vztahy . $Y$ $n$ $C^k$ $X$ $C^k$ $m$ $X$ $y\v Y$ $(U,\phi )$ $C^k$ $X$ $y\in U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

Mapování se nazývá - vložení , pokud je -subvarieta v a je -diffeomorfismus. $f:X\to Y$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\to f(X)$ $C^k$

Libovolná - dimenzionální -manifold připouští vložení do , stejně jako do . Navíc množina takových vložení je všude hustá v mapovacím prostoru s ohledem na kompaktní-otevřenou topologii . Uvažování hladkých variet jako podvariet euklidovského prostoru tedy dává jeden ze způsobů, jak studovat jejich teorii, tímto způsobem jsou například stanoveny výše uvedené teorémy o analytických strukturách. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Literatura

Bourbaki N. Diferencovatelné a analytické variety. Souhrn výsledků / os. z francouzštiny G. I. Olšanský. — M .: Mir, 1975. — 220 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. - 2. vyd., přepracováno. - M .: Nauka, Ch. vyd. Fyzikální matematika lit. , 1986. - 760 s.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Základy diferenciální geometrie. - M. : Nauka, 1981. - T. 1. - 344 s.
de Ram J. Diferencovatelné rozdělovače / přel. z francouzštiny D. A. Vasilková. - M. : IL, 1956. - 250 s.
Leng S. Úvod do teorie diferencovatelných variet / per. z angličtiny. I. M. Dektyareva. — M .: Mir, 1967. — 203 s.
Narasimhan R. Analýza na reálných a komplexních varietách / per. z angličtiny. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 s.
Pontryagin LS Hladké variety a jejich aplikace v teorii homotopie. - 2. vyd. — M .: Nauka, 1976. — 176 s.
Postnikov M. M. Úvod do Morseovy teorie. — M .: Nauka, 1971. — 568 s.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. Počáteční kurz topologie. Geometrické hlavy. — M .: Nauka, 1977. — 487 s.
Whitney X. Teorie geometrické integrace / per. z angličtiny. I. A. Vainstein. - M. : IL, 1960. - 355 s.
Wells R. Diferenciální počet na komplexních varietách / per. z angličtiny. vyd. B. S. Mityagin. - M .: Mir, 1976. - 284 s.