Skene poměr
Ústřední otázkou teorie uzlů je, zda dva diagramy představují stejný uzel . Jedním z nástrojů používaných k zodpovězení této otázky je polynom uzlu , což je invariant uzlu . Pokud dva diagramy odpovídají různým polynomům , pak představují různé uzly. Opak není vždy pravdou.
K jednoduchému definování polynomu uzlu se často používá vztah přadena (nebo vztah Conwayova typu ). Neformálně řečeno, relace přadena definuje lineární vztah mezi hodnotami polynomu uzlu na třech článcích , které se od sebe liší pouze v malé oblasti. Pro některé polynomy, jako jsou Conwayovy , Alexanderovy a Jonesovy polynomy , stačí pro výpočet polynomu rekurzivně vhodný přadenonový vztah . Jiné, jako je HOMFLY polynom , vyžadují složitější algoritmy.
Definice
V relaci skin jsou zahrnuty tři spojové diagramy , které jsou všude identické kromě jednoho průsečíku. Tyto tři diagramy by měly vyjadřovat tři možnosti, které by se mohly na tomto průsečíku odehrát: vlákno by mohlo procházet pod jiným vláknem, přes něj nebo se neprotínat vůbec. Je nutné vzít v úvahu diagramy spojů , protože změna i jednoho průsečíku může změnit diagram uzlu na diagram spoje a naopak. V závislosti na konkrétním polynomu uzlu mohou být vazby, které se objevují ve vztahu kůže, orientované nebo neorientované.
Tři diagramy jsou označeny následovně. Otočte uzel tak, aby směry obou nití na dotyčném průsečíku směřovaly přibližně na sever. V jednom diagramu bude nit severozápadního směru přecházet přes severovýchodní nit, označíme ji . V jiném diagramu severovýchodní vlákno prochází přes severozápadní, toto je . Poslední diagram je bez tohoto průsečíku a je označen .
(Zápis je ve skutečnosti směrově nezávislý v tom smyslu, že když jsou všechny směry obráceny, zápis zůstává stejný. Proto jsou polynomy jednoznačně definovány i u neorientovaných uzlů. Zásadně je však důležité si zapamatovat orientaci na spojnici, ve které příkaz k provedení rekurze.)
Je užitečné si to představit jako skládání dvou diagramů z jednoho diagramu jejich záplatováním vhodnými orientacemi.
Chcete-li rekurzivně definovat polynom uzlu (spojení), funkce a je pevná pro jakoukoli trojici diagramů a jejich polynomy, označené jako výše,
nebo opatrněji
pro všechny .
(Najít funkci , díky které je polynom nezávislý na pořadí průniků v rekurzi, není snadný úkol.)
Formálněji lze vztah přadena považovat za definici jádra kvocientové mapy z algebry plochého věnce . Takové zobrazení odpovídá uzlovému polynomu, pokud jsou všechny uzavřené diagramy mapovány na komplexní typy prázdných diagramů.