Hopfův odkaz
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .Hopfův spoj je nejjednodušší netriviální spoj se dvěma nebo více komponentami [1] , skládá se ze dvou jednou propojených kružnic [2] a je pojmenován po Heinzi Hopfovi [3] .
Geometrické znázornění
Konkrétní model se skládá ze dvou jednotkových kružnic v kolmých rovinách tak, že každý prochází středem toho druhého [2] . Tento model minimalizuje délku lana (délka lana je invariantem teorie uzlů) článku a až do roku 2002 byl Hopfův článek jediným, u kterého byla délka lana známá [4] . Konvexní trup těchto dvou kruhů tvoří těleso zvané oloid [5] .
Vlastnosti
V závislosti na vzájemné orientaci těchto dvou složek je Hopfův spojovací koeficient ±1 [6] .
Hopfův odkaz je (2,2) -torický odkaz [7] s popisným slovem [8] .
Doplněk Hopfova spojení je, válec nad torusem [9] . Tento prostor má lokálně euklidovskou geometrii , takže Hopfova vazba není hyperbolická . Skupina uzlu Hopfovy vazby ( základní skupina jejího doplňku) je( volná abelovská skupina na dvou generátorech) a odlišuje Hopfovu vazbu od dvou nespojených kruhů, které odpovídají volné skupině na dvou generátorech [10] .
Odkaz Hopf nemůže být tříbarevný . To vyplývá přímo ze skutečnosti, že odkaz lze obarvit pouze dvěma barvami, což je v rozporu s druhou částí definice zbarvení. Každý průsečík bude mít maximálně 2 barvy, takže při vybarvování porušíme požadavek mít v každém průsečíku 1 nebo 3 barvy nebo porušíme požadavek mít více než 1 barvu.
Hopfův svazek
Hopfův svazek je nepřetržité mapování od 3-koule (trojrozměrný povrch ve čtyřrozměrném euklidovském prostoru ) k známější 2-kouli , takže inverzní obraz každého bodu na 2-kouli je kruh. Získá se tak rozklad 3-koule na souvislou rodinu kruhů a každé dva různé kruhy z této rodiny tvoří Hopfovu vazbu. Tato skutečnost podnítila Hopfa ke studiu Hopfových vazeb – protože jakékoli dvě vrstvy jsou propojeny , Hopfův svazek je netriviální svazek . To byl počátek studia homotopických skupin koulí [11] .
Historie
Spojení je pojmenováno po topologovi Heinzi Hopfovi , který jej studoval v roce 1931 ve své práci o Hopfově fibraci [12] . Takový odkaz však použil Gauss [3] , mimo matematiku se s ním setkali již dávno předtím, například jako znak japonské buddhistické sekty Buzan-ha , založené v 16. století.
Viz také
- Cathenany , chemické sloučeniny se dvěma mechanicky spojenými molekulami
- Šalamounův uzel , dva dvouzubé kroužky
Poznámky
- ↑ Adams, 2004 , str. 151.
- ↑ 1 2 Kusner a Sullivan 1998 , str. 67–78.
- ↑ 1 2 Prasolov, Sosinský, 1997 , s. 12.
- ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , str. 257–286.
- ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , str. 105–118.
- ↑ Adams, 2004 .
- ↑ Kauffman, 1987 , s. 373.
- ↑ Adams, 2004 , str. 133, Cvičení 5.22.
- ↑ Turaev, 2010 , s. 194.
- ↑ Hatcher, 2002 , str. 24.
- ↑ Shastri, 2013 , str. 368.
- ↑ Hopf, 1931 , str. 637–665.
Literatura
- Prasolov V. V., Sosinský A. B. . Uzly, články, prýmky a trojrozměrné rozdělovače. - M. : MTSNMO, 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .
- Adams, Colin Conrad. . Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů. - American Mathematical Society, 2004. - ISBN 9780821836781 .
- Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. O minimální délce provazu uzlů a článků // Inventiones Mathematicae. - 2002. - Sv. 150, č. 2. - doi : 10.1007/s00222-002-0234-y . - arXiv : math/0103224 .
- Dirnböck H., Stachel H. Vývoj oloidu // Journal for Geometry and Graphics. - 1997. - Sv. 1, č. 2.
- Hatcher, Allene. . Algebraická topologie. - 2002. - ISBN 9787302105886 .
- Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen . - Berlin: Springer , 1931. - doi : 10.1007/BF01457962 .
- Kauffman, Louis H. Na Uzly. - Princeton University Press, 1987. - Sv. 115. - (Annals of Mathematic Studies). — ISBN 9780691084350 .
- Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topologie a geometrie ve vědě o polymerech (Minneapolis, MN, 1996). - New York: Springer, 1998. - Sv. 103.- (IMA Vol. Math. Appl.). - doi : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 .
- Shastri, Anant R. . Základní algebraická topologie. - CRC Press, 2013. - ISBN 9781466562431 .
- Turajev, Vladimír G. . Kvantové invarianty uzlů a 3-manifoldy. - Walter de Gruyter, 2010. - Sv. 18. - (De Gruyter studuje matematiku). — ISBN 9783110221831 .
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Hopf Link (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Hopfův odkaz , Atlas uzlů