Hopfův spoj je nejjednodušší netriviální spoj se dvěma nebo více komponentami [1] , skládá se ze dvou jednou propojených kružnic [2] a je pojmenován po Heinzi Hopfovi [3] .
Konkrétní model se skládá ze dvou jednotkových kružnic v kolmých rovinách tak, že každý prochází středem toho druhého [2] . Tento model minimalizuje délku lana (délka lana je invariantem teorie uzlů) článku a až do roku 2002 byl Hopfův článek jediným, u kterého byla délka lana známá [4] . Konvexní trup těchto dvou kruhů tvoří těleso zvané oloid [5] .
V závislosti na vzájemné orientaci těchto dvou složek je Hopfův spojovací koeficient ±1 [6] .
Hopfův odkaz je (2,2) -torický odkaz [7] s popisným slovem [8] .
Doplněk Hopfova spojení je, válec nad torusem [9] . Tento prostor má lokálně euklidovskou geometrii , takže Hopfova vazba není hyperbolická . Skupina uzlu Hopfovy vazby ( základní skupina jejího doplňku) je( volná abelovská skupina na dvou generátorech) a odlišuje Hopfovu vazbu od dvou nespojených kruhů, které odpovídají volné skupině na dvou generátorech [10] .
Odkaz Hopf nemůže být tříbarevný . To vyplývá přímo ze skutečnosti, že odkaz lze obarvit pouze dvěma barvami, což je v rozporu s druhou částí definice zbarvení. Každý průsečík bude mít maximálně 2 barvy, takže při vybarvování porušíme požadavek mít v každém průsečíku 1 nebo 3 barvy nebo porušíme požadavek mít více než 1 barvu.
Hopfův svazek je nepřetržité mapování od 3-koule (trojrozměrný povrch ve čtyřrozměrném euklidovském prostoru ) k známější 2-kouli , takže inverzní obraz každého bodu na 2-kouli je kruh. Získá se tak rozklad 3-koule na souvislou rodinu kruhů a každé dva různé kruhy z této rodiny tvoří Hopfovu vazbu. Tato skutečnost podnítila Hopfa ke studiu Hopfových vazeb – protože jakékoli dvě vrstvy jsou propojeny , Hopfův svazek je netriviální svazek . To byl počátek studia homotopických skupin koulí [11] .
Spojení je pojmenováno po topologovi Heinzi Hopfovi , který jej studoval v roce 1931 ve své práci o Hopfově fibraci [12] . Takový odkaz však použil Gauss [3] , mimo matematiku se s ním setkali již dávno předtím, například jako znak japonské buddhistické sekty Buzan-ha , založené v 16. století.