Skupina uzlů

Skupina uzlu  je charakteristika uzlu, definovaná jako základní skupina jeho doplňku.

Definice

Nechť existuje uzel. Potom je skupina uzlu definována jako základní skupina . [1] .

Komentář

Jiné konvence považují uzel za vložení kruhu do 3-koule . V tomto případě je skupina uzlu definována jako základní skupina svého doplňku v . Obě definice dávají izomorfní skupiny.

Vlastnosti

• Dva ekvivalentní uzly mají izomorfní skupiny uzlů, takže skupina uzlů je invariantní a lze ji použít ke stanovení, že pár uzlů není ekvivalentní. Dva neekvivalentní uzly však mohou mít isomorfní skupiny uzlů (viz příklad níže).

• Abelizace skupiny uzlu je vždy izomorfní k nekonečné cyklické skupině . Vyplývá to ze skutečnosti, že abelizace se shoduje s první skupinou homologie , kterou lze snadno vypočítat.

• Skupinu uzlů (stejně jako základní skupinu orientovaných spojů obecně) lze vypočítat poměrně jednoduchými algoritmy pomocí Wirtingerovy reprezentace .

Příklady

• Skupina triviálních uzlů je izomorfní .
  • Opak je také pravdou.
• Skupina trojlístku je izomorfní ke skupině copánků , tato skupina má úkol : nebo .
• Skupina - torusový uzel má za úkol: .
• Osmičlenná skupina má za úkol: .
• Rovný uzel a ženský uzel mají izomorfní skupiny uzlů, ale tyto uzly nejsou ekvivalentní.

Viz také

• Gear group

Poznámky

1. ↑ Boltyansky, 1982 , s. 119.

Literatura

• Uzly a odkazy skupiny - článek z Encyklopedie matematiky
• Boltyansky V.G. , Efremovič V.A. Vizuální topologie. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.