Tříbarevné zbarvení
V teorii uzlů, tricolorability uzlu je schopnost obarvit uzel třemi barvami, podle určitých pravidel. Kolorizovatelnost ve třech barvách je izotopový invariant , a proto lze tuto vlastnost použít k rozlišení dvou ( neizotopických ) uzlů. Zejména, protože triviální uzel není trojbarevný, bude jakýkoli vybarvitelný uzel netriviální.
Pravidla barvení
Uzel je vybarvitelný, pokud každé vlákno diagramu uzlu může být obarveno jednou ze tří barev podle následujících pravidel: [1]
1. Musí být použity alespoň dvě barvy 2. Na každém průsečíku musí být tři nitě buď všechny stejné barvy, nebo všechny jiné barvy (nitka nahoře v průsečíku nemění barvu a nit dole se považuje za dvě různé nitě).Poznámky
- Některé zdroje vyžadují použití všech tří barev [2] . U uzlů je to ekvivalentní výše uvedené definici, ale u spojů nikoli.
Příklady
Příklad barvení uzlů podle výše uvedených pravidel. Obvykle se pro barvení používají červené, zelené a modré barvy.
"Trojlístek a triviální 2-článek jsou tříbarevné, ale triviální uzel, Whiteheadův článek a osmička ne. "
Příklad tříbarevného uzlu
Babi uzel lze nalakovat ve třech barvách. V tomto zbarvení mají tři vlákna na každém průsečíku tři různé barvy. Uzel se skládá ze dvou jetelů a zbarvení jednoho ze dvou (ale ne obou) jetelů úplně červeně také dává platné zbarvení. Uzel "skutečného přátelství" je také tříbarevný [3]
Příklad netricolorable uzlu
Osmička nemůže být natřena třemi barvami. V zobrazeném diagramu má uzel čtyři vlákna, z nichž se kterýkoli pár setká na nějakém průsečíku. Pokud mají tři nitě stejnou barvu, musí mít stejnou barvu i čtvrtá nit. V opačném případě musí mít každá z těchto čtyř nití jinou barvu. Vzhledem k tomu, že trojbarevnost je invariantem uzlu, žádný z diagramů tohoto uzlu nemůže být trojbarevný.
Vlastnosti
- Je-li projekce uzlu tříbarevná, pak se Reidemeister pohybuje na uzlu zachovává barevnost, takže buď jsou všechny výstupky uzlu tříbarevné, nebo není barevná žádná projekce“ [1] . Jinými slovy, tricolorability je izotopický invariant , vlastnost uzlu nebo spojení , která zůstává nezměněna pro jakoukoli okolní izotopii .
- To lze dokázat, pokud vezmeme v úvahu kroky Reidemeistera . Protože každý tah Reidemeister lze provést bez změny vlastnosti colorizability, je tato vlastnost invariantní izotopie.
| pohyb Reidemeister I nemění barevnost. | strojek Reidemeister II nemění barevnost. | strojek Reidemeister III nemění barevnost. |
|---|---|---|
- Protože trikolorování je binární klasifikace (ať už je odkaz vybarvitelný nebo ne), jedná se o relativně slabý invariant. Součet obarvitelného uzlu s jiným uzlem je vždy obarvitelný.
- Způsob, jak posílit tento invariant, je spočítat počet možných zbarvení ve třech barvách. V tomto případě upustíme od pravidla, že jsou použity alespoň dvě barvy a nyní má každý odkaz alespoň tři obarvení (stačí obarvit všechny oblouky stejnou barvou). Nyní je odkaz považován za 3 vybarvitelný, pokud má více než 3 různá zbarvení.
- Jakýkoli oddělitelný článek s vybarvitelnou oddělitelnou složkou je také trojbarevný.
- Pokud může být torusový uzel nebo článek obarven ve třech barvách, pak totéž platí pro a pro jakákoli přirozená čísla a .
Viz také
- Fox's n-coloring
- Barevné grafy
Poznámky
- ↑ 1 2 Weisstein, 2010 , s. 3045.
- ↑ Gilbert a Porter 1994 , str. osm.
- ↑ Mladen Bestvina (únor 2003). " Uzly: leták pro mathcircles Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine ", Math.Utah.edu .
Literatura
- Eric W. Weisstein. CRC Stručná encyklopedie matematiky. - Druhé vydání. — Boca Raton, Londýn, New York. Washington DC: Chapman & Hall/CRC, 2010. - ISBN 9781420035223 .
- ND Gilbert, T. Porter. Uzly a povrchy. - Oxford, New York, Tokio: Oxford University Press, 1994. - ISBN 0-19-853397-7 .
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Three-Colorable Knot (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld . Přístup: 5. května 2013.