Tateovy hypotézy

Tateovy  hypotézy jsou tři hypotézy vytvořené matematikem 19. století Peterem Guthrie Tateem při studiu uzlů [1] . Tateovy hypotézy zahrnují koncepty z teorie uzlů, jako jsou střídavé uzly , chiralita a číslo kroucení . Všechny Tateovy domněnky byly prokázány, poslední je domněnka obrácení.

Pozadí

Tate přišel se svými hypotézami na konci 19. století poté, co se pokusil zpracovat [ všechny uzly. Jako zakladatel teorie uzlů neměl jeho práce rigorózní matematické základy a není zcela jasné, zda své hypotézy rozšířil na všechny uzly, nebo pouze na střídavé uzly . Ukázalo se, že většina z nich platí pouze pro střídavé uzly [2] . V Tateových dohadech se říká, že diagram uzlu je „redukován“, pokud jsou odstraněny všechny „krky“ nebo „triviální křížení“.

Počet průsečíků střídavých uzlů

Tate navrhl, že za určitých okolností je číslo křižovatky invariantní uzel , konkrétně:

Jakýkoli zmenšený diagram střídavého spoje má nejmenší možný počet průsečíků.

Jinými slovy, počet průsečíků redukovaného střídavého článku je invariant uzlu. Tuto domněnku dokázali Louis Kaufman, Kunio Murasugi (村杉邦男) a Morven B. Thistlethwaite v roce 1987 pomocí Jonesova polynomu [3] [4] [5] .

Geometrický důkaz, který nepoužívá uzlové polynomy, podal v roce 2017 Joshua Green [6] .

Twist číslo a chiralita

Tateova druhá hypotéza:

Amficharální (nebo achirální) střídavý spoj má nulové číslo zákrutu.

Tuto domněnku dokázali i Kaufman a Thistlethwaite [3] [7] .

Překlápění

Tateova inverzní hypotéza může být vyjádřena takto:

Jsou-li dány dva zkrácené střídavé diagramy a orientovaný jednoduchý střídavý spoj, pak lze diagram převést na posloupnost nějakého druhu operací nazývaných inverze [8]

Tateovu inverzní hypotézu dokázali Thistlethwaite a William Menasco v roce 1991 [9] . Několik dalších Tateových hypotéz vyplývá z Tateova zvratu:

Jakékoli dva redukované diagramy stejného střídavého uzlu mají stejné číslo zákrutu.

Vyplývá to ze skutečnosti, že překlápění zachovává číslo twistu. Tuto skutečnost dokázali již dříve Murasugi a Thistlethwaite [7] [10] . To vyplývá i z Greenovy práce [6] . U nestřídavých uzlů tato domněnka neplatí a dvojice Perco je protipříkladem [2] .

Tento výsledek také implikuje následující domněnku:

Alternativní amfichirální uzly mají sudý počet průsečíků [2] .

To vyplývá ze skutečnosti, že zrcadlový uzel má opačné číslo zákrutu. Tato hypotéza platí opět pouze pro střídavé uzly - existuje nealternující amfichirální uzel s 15 průniky [11] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Lickorish, 1997 , s. 47.
  2. ↑ 1 2 3 Stoimenow, 2008 , str. 285–291.
  3. ↑ 1 2 Kauffman, 1987 , str. 395–407.
  4. ↑ Murasugi, 1987 , s. 187–194.
  5. ↑ Thistlethwaite, 1987 , s. 297–309.
  6. ↑ 12 Greene , 2017 , str. 2133–2151.
  7. ↑ 1 2 Thistlethwaite, 1988 , s. 311–318.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures  na webu Wolfram MathWorld .
  9. ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993 , s. 113–171.
  10. ↑ Murasugi, 1987 , s. 317–318.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  na webu Wolfram MathWorld .

Literatura