Homologická sféra
Homologní koule je n - rozměrný různý X s homologií jako u n - rozměrné koule . To znamená
H0 ( X , Z ) = Z = Hn ( X , Z ) ,
a
H i ( X , Z ) = {0} pro všechna ostatní i .
Příklady
- Poincarého koule
- Brieskornovy koule Σ( p , q , r ), tj. průsečík malé 5-rozměrné koule s řešením rovnice x p + y q + z r = 0 v koprimém p , q a r . Jsou to homologní koule. Navíc Σ(1, 1, 1) je homeomorfní pro standardní kouli a Σ(2, 3, 5) pro Poincareho kouli. Jestliže , pak je univerzální obal Σ( p , q , r ) homeomorfní k euklidovskému prostoru,
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f34065b7fcb29527d42a2c449e643d8ec8a083)
![{\displaystyle 1/p+1/q+1/r\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3d293f865994be8d660eef20827c147fd7ade7)
Vlastnosti
- Homologická koule je spojena.
- Základní skupina homologické koule se shoduje s jejím komutátorem.
![\Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
- Nechte _ Skupina je skupina nějaké n - rozměrné homologické koule právě tehdy, když [1] :
![n\geqslant 5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29e0bd313fa15456f5bdd732a8200b7d2456fb4)
![\Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
samozřejmě daný ;
;
.
- Skupina je skupina nějaké 4 - rozměrné homologické koule if
![\Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
je dán stejným počtem generátorů a vztahů, a
.
- Není známo, zda je opak pravdou [1] .
- Součet dvou homologních koulí je homologní koule.
- Podle zobecněného Poincarého dohadu je jednoduše připojená homologická koule homeomorfní ke standardní kouli.
Variace a zobecnění
- Racionálně homologické sféry jsou definovány podobným způsobem, ale s použitím homologie s racionálními koeficienty.
Poznámky
- ↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (říjen 1969), str. 67-72