Kontsevičův invariant

Kontsevichův invariant , (neboli Kontsevichův integrál [1] ) je invariant orientovaného orámovaného spoje určitého typu. Jde o univerzální Vasilievův invariant [2] v tom smyslu, že každý koeficient Koncevičova invariantu je invariant konečného typu a naopak jakýkoli invariant konečného typu lze reprezentovat jako lineární kombinaci takových koeficientů. Jde o dalekosáhlé zobecnění jednoduchého integrálního vzorce pro číslo spojnice [3] .

Invariant byl definován Maximem Lvovičem Koncevičem v roce 1992 v důkazu Vasiliev-Kontsevich teorém.

Kontsevichův invariant je univerzální kvantový invariant v tom smyslu, že jakýkoli kvantový invariant lze získat dosazením vhodného váhového systému do Jacobiho diagramu .

Definice

Kontsevičův invariant je definován jako monodromie spojení Knizhnik-Zamolodchikov kromě sjednocení diagonálních nadrovin v C n [4] .

Nejjednodušší integrál Koncevičova typu

Představme si trojrozměrný prostor jako přímý součin komplexní přímky se souřadnicí z a reálné přímky se souřadnicí t . Vložme vazbu do prostoru tak, aby souřadnice t byla Morseova funkce na L . To znamená, že ve všech bodech, kde má t jako funkce parametru na křivce nulovou derivaci, by její druhá derivace neměla zmizet a hodnoty t ve všech těchto bodech (kritické hodnoty) by se měly navzájem lišit. [5] . Ukazuje se, že spojovací číslo pak lze vypočítat pomocí následujícího vzorce: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\cup K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\times t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Kontsevičův vzorec

(Původní) Koncevichův integrál uzlu K je dalším prvkem dokončení algebry akordických diagramů [5] : ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A))))$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\součet _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

Vysvětlení tohoto vzorce naleznete v článku S. V. Duzhina . Označíme-li H triviální uzel, jehož zapuštění do prostoru dává dvě maxima a dvě minima, dostaneme [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

kde c je počet kritických bodů funkce t na K .

Lze ukázat, že integrál , za prvé konverguje pro libovolný uzel umístěný v prostoru výše uvedeným způsobem, a za druhé se nemění pro hladké izotopie uzlu, pro které je zachován počet kritických bodů funkce t . Protože uzel je uzavřená křivka, kritické body se mohou objevovat a mizet pouze ve dvojicích. $Z(K)$

$I(K)$ se nazývá konečný Koncevičov integrál

Koncevičov integrál je poměrně složitý objekt a po několik let nebyl nikdo schopen vypočítat konečný Koncevičov integrál ani pro triviální uzel. Byly známy pouze koeficienty pro některé akordové diagramy v nekonečném součtu.

V roce 1997 se objevila domněnka D. Bar-Nathana et al [7] (prokázána v roce 1998 [8] ), že [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n))

zde O je neuzel (kruh) ekvivalentní H, jsou modifikovaná Bernoulliho čísla a jsou kolečka , tj. diagramy ve formě kruhu s radiálními segmenty. Produkty kol jsou chápány jako disjunktní spojení diagramů a kola samotná jsou interpretována jako lineární kombinace Feynmanových diagramů (viz níže). ${\displaystyle b_{2n))$ ${\displaystyle w_{2n))$

Jacobiho diagram

Feynmanův diagram a akordový diagram

Feynmanův diagram stupně n je souvislý trivalentní graf s 2n vrcholy, ve kterém je rozlišován orientovaný cyklus, nazývaný Wilsonova smyčka [10] . Akordový diagram je speciální případ Feynmanových diagramů (všechny trivalentní vrcholy leží na Wilsonově smyčce). Stupeň Feynmanova diagramu je polovina celkového počtu vrcholů v grafu. Feynmanův diagram se nazývá spojený , pokud odpovídající graf zůstane připojený i po vyřazení Wilsonovy smyčky [3] .

Definice

Nechť X je kruh (což je 1-rozměrná varieta a bude sloužit jako Wilsonova smyčka ). Jak je znázorněno na obrázku vpravo, Jacobiho diagram řádu n je graf s 2n vrcholy, ve kterém je vnější kružnice (Wilsonova smyčka) znázorněna plnou čarou a přerušované čáry se nazývají vnitřní graf, což vyhovuje následující podmínky:

Směr je vyznačen pouze na vnější smyčce.
Vrcholy s hodnotou 1 nebo 3. Vrcholy s hodnotou 3 jsou připojeny k jedné z dalších (polo)hran ve směru nebo proti směru hodinových ručiček, jak je znázorněno malým orientovaným kruhem.

Vrcholy s hodnotou 1 se často nazývají univalentní a vrcholy s hodnotou 3 trivalentní [11] . Univalentní vrcholy jsou připojeny k vnější kružnici bez násobnosti a seřazeny podle orientace kružnice. Jacobiho diagram lze rozpojit a je nutné, aby každá připojená komponenta měla alespoň jeden univalentní vrchol [11] . Hrany na G se nazývají akordy . Kvocientový prostor komutativní grupy tvořené všemi Jacobiho diagramy na X označíme A ( X ) následujícími vztahy:

(AS poměr) + = 0 (vztah IHX) = − (vztah STU) = − (poměr FI) = 0.

Pokud má jakákoliv souvislá složka G vrchol s hodnotou 3, pak můžeme Jacobiho diagram převést na diagram tětivy rekurzivní aplikací vztahu STU. Pokud se omezíme na akordové diagramy, pak se čtyři výše uvedené vztahy zredukují na následující dva vztahy:

(čtyřčlenný vztah) − + − = 0. (poměr FI) = 0.

Poznámka: V Jacobiho diagramech je povoleno více hran a závěsných smyček [12] .

Vlastnosti

Vezmeme-li aritmetický průměr přes všechny způsoby lepení Wilsonovy smyčky na univalentní vrcholy, lze jakýkoli Jacobiho diagram změnit na lineární kombinaci Feynmanových diagramů [11] .

Je výhodnější pracovat s Jacobiho diagramy než s Feynmanovými diagramy, protože kromě obecného stupňování polovičním počtem vrcholů existují ještě dvě další stupňování: podle počtu připojených komponent a podle počtu univalentních vrcholů [13 ] .

Stupeň nebo řád Jacobiho diagramu je definován jako polovina součtu čísel jeho vrcholů. Toto číslo je vždy celé číslo a rovná se počtu akordů v akordovém diagramu získaném z Jacobiho diagramu [12] .
Jako weaves tvoří Jacobiho diagramy monoidní kategorii . Složení a tenzorový součin morfismů jsou definovány metodou „box stacking“:

Jinými slovy, tenzorový součin morfismů je disjunktní spojení a kompozice je slepení odpovídajících částí hranice [14] .

- Ve speciálním případě, kdy X je interval I , bude A ( X ) komutativní algebra. Uvažujeme -li A ( S 1 ) jako algebru s násobením definovaným jako spojený součet , je A ( S 1 ) izomorfní k A ( I ) .
Na Jacobiho diagram lze pohlížet jako na abstrakci reprezentace tenzorové algebry generované Lieovými algebrami, která nám umožňuje definovat některé operace analogické s koprodukty, counity a antipody Hopfových algeber .
Protože Vassilievovy invarianty (invarianty konečného typu) úzce souvisejí s akordovými diagramy, lze z akordického diagramu G na S 1 sestavit singulární uzel . Kn označuje prostor tvořený všemi singulárními uzly stupně n , každý takový G definuje jedinečný prvek v Km / Km + 1 .

Váhový systém

Mapování z Jacobiho diagramů na kladná čísla se nazývá váhový systém . Zobrazení rozšířené na A ( X ) se také nazývá váhový systém. Systémy mají následující vlastnosti:

Nechť g je polojednoduchá Lieova algebra a ρ její reprezentace. Váhovou soustavu získáme „dosazením“ invariantního tenzoru g do tětivy Jacobiho diagramu a ρ v základní varietě X Jacobiho diagramu.
- Trivalentní vrcholy Jacobiho diagramů můžeme považovat za závorkový součin Lie algebry, šipky plné čáry za reprezentaci prostoru
ρ a univalentní vrcholy za akce Lie algebry.
Vztah IHX a vztah STU odpovídají Jacobiho identitě a definici reprezentace

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

Váhový systém hraje zásadní roli v důkazu Mervin-Mortonovy domněnky [15] , která zakládá spojení mezi Alexandrovými polynomy a Jonesovými polynomy .

Historie

Jacobiho diagramy byly zavedeny analogicky s Feynmanovými diagramy, když Kontsevich v první polovině 90. let definoval uzlové invarianty z hlediska vícenásobných integrálů [16] . Singulární body reprezentoval jako akordy, pracoval tedy pouze s akordickými diagramy. D. Bar-Nathan je později formuloval jako jedno- a třívalentní grafy, studoval jejich algebraické vlastnosti a ve svém článku je nazval „diagramy čínských znaků“ [17] . Pro označení těchto diagramů byly použity různé termíny, včetně „akordových diagramů“ a „Feynmanových diagramů“, ale asi od roku 2000 se jim říká Jacobiho diagramy, protože vztah IHX odpovídá Jacobiho identitě pro Lie algebry .

Poznámky

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , str. 101.
↑ Duzhin, 2011 , str. 26.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , str. 102.
↑ Duzhin, 2010 , str. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozanský, Thurston, 2000 , str. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , str. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , str. 105.
↑ Duzhin, 2010 , str. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , str. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , str. 127.
↑ Duzhin, 2010 , str. 108.
↑ Rumunština, 2013 , s. 1128–1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , s. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , s. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , s. 423-472.

Literatura

Sergej Vasilievič Dužin. KOMBINATORIÁLNÍ ASPEKTY TEORIE VASIL'EVOVÝCH INVARIANTŮ. - Petrohrad, 2011. - (disertační práce).
D. A. Rumynin. Lieovy algebry v symetrických monoidálních kategoriích // Sib. matematika. časopis .. - 2013. - T. 54 , no. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Úvod do Vassiliev Knot Invariants (aka CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. O domněnce Melvin-Morton-Rozansky // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Vydání. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozanský, D. Thurston. Kola, kolování a Kontsevičův integrál unnot // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le,D. P Thurstone. Dvě aplikace elementární teorie uzlů na Lieovy algebry a Vassilievovy invarianty // Geometrie a topologie.. - 2003. - Svazek 7(1) .
S.V. Duzhin. Vasiliev–Gusarov invarianty // Matematika 20. století. Pohled z Petrohradu / A.M. Vershik. - Moskva: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Sergej Chmutov, Sergej Duži. Kontsevičův integrál // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram Web Resource, 2012.
D. Bar-Natan. Invarianty Vassilievova uzlu // Topologie. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Koncevič. Invarianty Vasilijevova uzlu // Adv. Sovětská matematika. - 1993. - T. 16 , no. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Kvantové invarianty – Studie uzlů, 3-manifoldů a jejich sad . - 2001. - ISBN 9789810246754 .