Uzel (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. srpna 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Uzel v matematice je vložení kruhu (jednorozměrné koule) do trojrozměrného euklidovského prostoru , považovaného za izotopii . Hlavní předmět studia teorie uzlů . Dva uzly jsou topologicky ekvivalentní , pokud jeden z nich může být deformován do druhého, a v procesu deformace by nemělo docházet k žádnému průniku.

Konkrétním případem je otázka rozpoznání triviality konkrétního uzlu, tedy zda je daný uzel izotopový vůči triviálnímu uzlu (lze jej rozvázat).

K určení, zda je konkrétní uzel triviální, lze použít různé invarianty uzlu, jako je Alexandrův polynom nebo základní skupina doplňku . Obvykle je lze vypočítat z uzlového diagramu .

V topologii jsou uzly uvažovány pouze na uzavřených liniích, protože neuzavřené lze rozvázat [1] .

Definice

Uzel je hladká podvarieta trojrozměrné koule , homeomorfní , uzel je chápán jako orientovaná trojrozměrná koule a orientace kruhu je obvykle nedůležitá.

Uzel je považován za zkrácený , pokud existuje dvourozměrný disk , který (viz Hranice (topologie) a Kruhový svazek ).

Uzly jsou kobordantní , pokud existuje hladce vložený prstenec, který se protíná v ( ) (viz rodina (matematika) ). Uzel kobordismus skupinově - kobordantně orientované uzly s připojenou sumační operací . Uvažujme koule v kouli Pokud sudé, pak

Balíček

Pojmy cop a uzel jsou zobecněny pojmem svazek. Spojení se vstupy a výstupy (tedy -spojení) je systém neprotínajících se oblouků a kružnic hladce zasazených do pásu tak, že konce oblouků jsou body a kružnice leží v Tyto oblouky a kružnice v se nazývají součásti spoje [2] .

Klasifikace

Trojlískový uzelje první netriviální uzel a jediný uzel setřemi průsečíky . Je prvočíslo a je uvedeno s číslem 3 1 v notaci Alexander-Briggs . Dowkerův zápis pro jetel je 4 6 2 a Conwayův zápis pro jetel je [3].

Trojlístek je netriviální, což znamená, že trojlístek není možné ve 3D "rozvázat" bez jeho rozříznutí. Matematicky to znamená, že trojlístek není izotopický k triviálnímu uzlu . Zejména zde není žádná sekvence Reidemeisterových pohybů , kterými by se uzel rozvazoval.

Osm , čtyřnásobný uzel nebo Listing uzel, uzelje jedním z nejjednodušších netriviálních uzlů. Osmička je reprezentována symbolem. Poprvé zvažoval Listing , Gaussův student, v roce 1847 .

Trojlístek je chirální v tom smyslu, že trojlístek se liší od svého vlastního zrcadlového obrazu. Dvě varianty trojlístku jsou známé jako levoruké a praváky. Není možné kontinuálně transformovat levostrannou variantu na pravostrannou nebo naopak pomocí deformace. (To znamená, že tyto dva jetele nejsou izotopické.)

Také lze ukázat, že trojlístek (pravý i levý) není izotopický vůči osmičce.

Mochna , známá také jako uzelv notaci Alexandra a Briggse, uzel Potentilla a Šalamounova pečeť , je uzel, pro který je počet průsečíků (minimální možný počet průsečíků v diagramu - plochý obrazec - a uzel) je pět.

U vícesložkových uzlů je počet složek uveden v horním indexu: například spojení dvou kroužků má symbolický zápis .

To byly příklady polynomiálních [3] uzlů. Nepolynomiální uzel je divoký uzel [4]

Divoký uzel  je uzel v euklidovském prostoru takový, že na něm není žádný homeomorfismus , pod kterým přechází do uzavřené přerušované čáry sestávající z konečného počtu segmentů.

Uzly a vazby

Vložení (častěji jeho obrázek) odpojeného součtu instancí kruhu v nebo se nazývá multiplicity link .

Vícenásobný odkaz se nazývá uzel .

Uzly, které tvoří daný odkaz, se nazývají jeho součásti .

Invarianty uzlu

V teorii uzlů je číslo průsečíku uzlu nejmenším počtem průsečíků v jakémkoli diagramu uzlu. Počet průsečíků je invariant uzlu .

Například triviální uzel má nula křížení, trojlístek má tři křížení a osmička má čtyři křížení.

Přidání uzlu

Gordon-Lyckeův teorém říká, že doplněk uzlu (jako topologický prostor ) je „úplným invariantem“ uzlu v tom smyslu, že odlišuje daný uzel od všech ostatních až do okolní izotopie. a zrcadlový odraz . Mezi invarianty spojené s doplňkem uzlu je skupina uzlů , což je jednoduše základní skupina jeho doplňku.

Poznámky

  1. ↑ Boltyansky V.G., Efremovich V.A. Vizuální topologie. - M .: Nauka, 1983. Knihovna sérií "Quantum", číslo 21. - S.87
  2. ↑ Kassel K., Rosso M., Turaev V. - Kvantové grupy a invarianty uzlů. - Moskva: Institut pro počítačový výzkum, 2002, 140 stran.
  3. ↑ Armstrong (1983 ), str. 215.
  4. ↑ Livingstone (1996 ), oddíl 2.1 Divoké uzly a rozuzlení, str. 11-14.

Literatura