Rodina (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. února 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Rodina nebo indexovaná rodina je kolekce objektů, z nichž každý je spojen s indexem z nějaké sady indexů . Více formálně, indexovaná rodina reprezentuje nějakou matematickou funkci spolu s jeho doménou a rozsahem . Množina v takovém zápisu se nazývá indexová sada (nebo jednoduše index) a indexovaná sada rodiny. $X$ $já$ $X$ $já$ $X$

Definice

Nechť a být nějaké množiny a být surjektivní funkcí $já$ $X$ $X$

{\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned))

Takový popis definuje rodinu prvků indexovaných množinou $X$ $já$ , která je také označována jako nebo jednoduše . Sada indexů nemusí být počitatelná. $\{x_{i}\}_{i\in I}$ $\{x_i\}$

Příklady

Indexový zápis

Při použití indexového zápisu tvoří indexované prvky rodinu. Například v následujícím prohlášení:

Vektory jsou lineárně nezávislé. $v_{1},\tečky ,v_{n}$

Rodina vektorů je implicitně zavedena . Zároveň je důležité, že mluvíme o rodině a ne o množině, protože množiny nejsou uspořádané a bez daného indexování by nemělo smysl mluvit o tém prvku množiny. Lineární nezávislost je navíc vlastností celé kolekce objektů, takže je důležité, abychom mluvili o rodině, a ne o množině vektorů. ${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\tečky ,n\))}$ $i$

Matrice

V následujícím prohlášení:

Matice je nedegenerovaná právě tehdy, když jsou její řádky lineárně nezávislé. $A$

Stejně jako v předchozím příkazu jsou řádky matice považovány přesně za rodinu, nikoli za množiny. Například pro následující matici:

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.

Sada jeho řádků se skládá z jednoho prvku a je lineárně nezávislá, ale matice je degenerovaná. Rodina řetězců zároveň obsahuje dva prvky a je lineárně závislá. $(1,1)$

Další příklady

Označme konečnou množinu , kde je kladné celé číslo. ${\bf {n))$ $\{1,2,\tečky ,n\}$ $n$

Pár je rodina indexovaná dvouprvkovou sadou . ${\bf {2}}=\{1,2\}$
N-tice je rodina indexovaná sadou . ${\bf {n))$
Posloupnost je rodina indexovaná přirozenými čísly .
Matice je rodina indexovaná kartézským součinem . ${\bf {n}}\times {\bf {m}}$
Směrovost je rodina indexovaná řízenou množinou .

Operace na rodinách

Indexované množiny se často používají v součtech a podobných operacích. Pokud je například rodina čísel, pak součet všech takových čísel je označen jako ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I))$

\sum _{i\in I}a_{i}.

Jestliže je rodina množin, pak spojení všech prvků rodiny je označeno jako $\{A_{i}\}_{i\in I}$

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

Průniky a kartézské součiny všech prvků rodiny mohou být zapsány podobným způsobem .

V kategorii teorie

Analogií rodiny v teorii kategorií jsou diagramy. Diagram je funktor , který definuje rodinu objektů kategorie indexovaných nějakou jinou kategorií , která také indexuje morfismy kategorie. $C$ $J$

Viz také

Literatura

Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. vydání, 2 svazky, Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citováno jako EDM (svazek).