Orientace (matematika)

Orientace ( směr , síť ) - zobecnění pojmu posloupnost používané především v topologii umožňuje správným způsobem zobecnit pojem limita posloupnosti.

Směrovost v topologickém prostoru je jakékoli mapování z nějaké vzestupně řízené sady v . Označení: nebo jednoduše . $X$ $\mathrm{A}$ $X$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$

Za směr lze považovat libovolnou posloupnost, v tomto případě roli usměrněné množiny hraje množina přirozených čísel . $\mathbb {N}$

Smysluplnější příklad směrovosti je konstruován pomocí sousedství bodu jako indexů. Pro určitý bod topologického prostoru se uvažuje rodina všech jeho sousedství. Vztah zahrnutí definuje řízenou strukturu množiny: sousedství jsou uspořádána jako . Každé okolí je spojeno se svým libovolným bodem , takové mapování je směrovost. $X$ $B_{x}$ $B_{x}$ $U,V\in B_{x}$ $U\geqslant V$ $U\subset V$ $U\in B_{x}$ $x_{U}\in U$ $U\mapsto x_{U}$

Související definice

Limit směrovosti

Směrovost se nazývá konvergující k bodu , pokud pro jakékoli okolí bodu existuje index takový, že pro jakékoli . Bod se nazývá mez směrovosti a značí se . ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $PROTI$ $X$ $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ $x_{\alpha }\in V$ $\alpha \geqslant \alpha _{V}$ $X$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$

Soubor všech směrových limitů je označen jako . Pokud má směrovost právě jednu mez , pak napište ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$ $X$ ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$

Jestliže topologický prostor je Hausdorff , pak každá konvergentní směrovost má právě jednu limitu. Platí to i obráceně: pokud má každá konvergentní směrovost právě jednu limitu, pak je prostor Hausdorffův.

Pojem limity směrovosti úzce souvisí s pojmem dotykového bodu: bod je dotykovým bodem množiny právě tehdy, pokud existuje směrovost prvků této množiny sbíhající se k tomuto bodu.

Subdirection

Pojem podsekvence lze zobecnit na směry. Orientace se nazývá podsměrnost ( jemnější směrovost ) orientace , pokud pro libovolnou existuje takový index , že pro každou existuje vyhovující rovnost . ${\displaystyle \left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$ $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ $\alpha '\geqslant \alpha$ ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '))$

Každá sekvence má podsměr, který sám není sekvencí.

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
L. V. Kantorovič a G. P. Akilov Funkční analýza. — M .: Nauka, 1984. — 752 s.