Zlatý trojúhelník (geometrie)

Zlatý trojúhelník [1]  je rovnoramenný trojúhelník , ve kterém jsou dvě boční (stejné) strany ve zlatém řezu se základnou:

Zlaté trojúhelníky lze nalézt ve vývoji některých stelací dvanáctistěnu a dvacetistěnu .

Stejný trojúhelník se také nachází ve vrcholech pentagramu . Vrcholový úhel je

Z toho, že součet úhlů trojúhelníku je 180°, dostaneme, že úhly na základně jsou 72° [1] . Zlatý trojúhelník lze nalézt také v desetiúhelníku , pokud jsou dva sousední vrcholy připojeny ke středu. Výsledný trojúhelník bude zlatý, protože: 180(10-2)/10=144° je vnitřní úhel desetiúhelníku a jeho dělení úsečkou spojující vrchol se středem dostane polovinu, 144/2=72 [ 1] .

Zlatý trojúhelník je také pozoruhodný svým jedinečným úhlovým poměrem 2:2:1 [2] .

Logaritmická spirála

Posloupnost zlatých trojúhelníků může být vepsána do logaritmické spirály . (Počínaje velkým trojúhelníkem) rozdělíme úhel na základně na polovinu, získáme další bod [3] . Proces dělení může pokračovat donekonečna, čímž vznikne nekonečný počet zlatých trojúhelníků. Výslednými vrcholy lze nakreslit logaritmickou spirálu . Tato spirála je také známá jako konformní spirála . Termín navrhl Rene Descartes : „Pokud nakreslíte čáru od tyče k libovolnému bodu na křivce, bude vždy protínat křivku pod stejným úhlem“ [4] .

Golden Gnomon

Se zlatým trojúhelníkem úzce souvisí zlatý gnomon , tupý rovnoramenný trojúhelník, ve kterém je poměr délky stejných (krátkých) stran k délce třetí strany (základny) převrácenou hodnotou zlatého řezu. Zlatý gnómon je unikátní trojúhelník s poměrem úhlů 1:1:3. Jeho ostré úhly jsou 36°, což je stejná hodnota jako úhel na vrcholu zlatého trojúhelníku.

Vzdálenost AX a CX je rovna φ, což je vidět na obrázku. „Zlatý trojúhelník má poměr základny ke straně rovný zlatému řezu φ, zatímco zlatý gnomon má poměr strany k základně stejný jako stejný zlatý řez“ [5] .

Zlatý trojúhelník lze rozřezat na zlatý trojúhelník a zlatý gnomon. Totéž platí pro zlatého gnómona. Zlatý gnómon a zlatý trojúhelník se stejnými stranami (strana gnómonu se rovná straně trojúhelníku) jsou také tupé a ostré Robinsonovy trojúhelníky [2] .

Tyto rovnoramenné trojúhelníky lze použít k získání obkladů Penrose . Penrose dlaždice se skládají z draků a šipek. „Had“ je deltoid , který se skládá ze dvou zlatých trojúhelníků, a „šípka“ je deltoid, který se skládá ze dvou zlatých gnómonů.

Viz také

• Zlatý řez
• zlatý obdélník
• zlatý kosočtverec
• Keplerův trojúhelník
• Pythagorova loutna
• Penroseova mozaika
• Pentagram

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 Elam, 2001 .
2. ↑ 1 2 Tilings Encyclopedia Archived 24. května 2009 na Wayback Machine
3. ↑ Huntley, 1970 .
4. ↑ Livio, 2002 .
5. ↑ Loeb, 1992 .

Literatura

• Kimberly Elam. Geometrie designu . - New York: Princeton Architectural Press, 2001. - ISBN 1-56898-249-6 .
• H. H. Huntley. Božská proporce: Studium matematické krásy. - New York: Dover Publications Inc, 1970. - ISBN 0-486-22254-3 .
• Mario Livio. Zlatý řez: Příběh Phi, nejúžasnější číslo na světě. - Broadway Books, 2002. - ISBN 0-7679-0815-5 .
• Arthur Loeb. Pojmy a obrazy: Vizuální matematika. - Boston: Birkhäuser Boston, 1992. - ISBN 0-8176-3620-X .

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Zlatý trojúhelník  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Golden gnomon  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Robinsonovy trojúhelníky v Tilings Encyclopedia