Sférická trigonometrie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. června 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Sférická trigonometrie je část trigonometrie , která studuje vztah mezi úhly a délkami stran sférických trojúhelníků . Používá se k řešení různých geodetických a astronomických problémů.

Historie

Základy sférické trigonometrie položil řecký matematik a astronom Hipparchos ve 2. století před naším letopočtem. E. Významně přispěli k jeho rozvoji takoví starověcí vědci jako Menelaos Alexandrijský a Claudius Ptolemaios . Sférická trigonometrie starých Řeků se spoléhala na aplikaci Menelaovy věty na úplný čtyřúhelník na kouli. Starověcí řečtí matematici nevyslovili podmínku Menelaovy věty v jazyce sinusových poměrů, ale v jazyce akordových poměrů . K provedení požadovaných výpočtů byly použity tabulky akordů, podobné následujícím tabulkám sinů .

Jako samostatná disciplína se sférická trigonometrie zformovala v dílech středověkých matematiků islámských zemí. Největší příspěvek k jeho rozvoji v této éře učinili vědci jako Sabit ibn Korra , Ibn Irák , Kushyar ibn Labban , Abu-l-Wafa , al-Biruni , Jabir ibn Aflah , al-Jayani , Nasir ad-Din at- Tusi . V jejich dílech byly zavedeny základní goniometrické funkce, byla formulována a prokázána sférická sinusová věta a řada dalších vět používaných v astronomických a geodetických výpočtech, byl zaveden pojem polárního trojúhelníku , který umožňoval vypočítat strany sférický trojúhelník z jeho tří daných úhlů.

Historie sférické trigonometrie v Evropě je spojena s pracemi takových vědců jako Regiomontanus , Mikuláš Koperník , Francesco Mavrolico .

Základní poměry

Označme strany kulového trojúhelníku a , b , c , úhly protilehlé těmto stranám - A , B , C. Strana kulového trojúhelníku je rovna úhlu mezi dvěma paprsky vycházejícími ze středu koule k odpovídajícím koncům strany trojúhelníku. Pro radiánovou míru úhlu:

a={\frac {|uv|}{R}},

b={\frac {|uw|}R},

c={\frac {|vw|}R}

Při použití úhlu místo délky oblouku pro měření stran sférického trojúhelníku se vzorce zjednoduší – nezahrnují pak poloměr koule. Totéž se dělá například ve sférické astronomii , kde na poloměru nebeské sféry nezáleží.

Věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník

Nechť úhel C je pravý úhel. Pak platí následující vztahy:

\operatorname {tg}b=\operatorname {tg}c\cos A,

\operatorname {tg}a=\sin b\operatorname {tg}A,

\sin a=\sin c\sin A,

\operatorname {cos}c=\operatorname {ctg}A\operatorname {ctg}B,

\cos A=\cos a\sin B.

Věty pro libovolný sférický trojúhelník

Sférické kosinové věty

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Sférická sinusová věta

{\frac {\sin a}{\sin A))={\frac {\sin b}{\sin B))={\frac {\sin c}{\sin C)),\sin ^{2}A>0,\sin ^{2}B>0,\sin ^{2}C>0.

První a druhá sférická kosinová věta jsou navzájem duální. Sférický sinusový teorém je sám pro sebe duální.

Pětiprvkový vzorec

\sin a\cos C=\sin b\cos c-\cos b\sin c\cos A.

\sin A\cos c=\sin B\cos C+\cos B\sin C\cos a,

Tyto dva vzorce jsou také navzájem duální.

Aplikace

Znalost vzorců sférické trigonometrie je nezbytná při řešení takových problémů, jako je například převod souřadnic z jednoho nebeského souřadnicového systému do druhého, výpočet zeměpisné délky centrálního poledníku planety ve sluneční soustavě , označení slunečních hodin a přesný směr. satelitní antény ("talíře") na požadovaný satelit pro příjem satelitních televizních .

Viz také

Literatura

Matvievskaya G.P. Eseje o historii trigonometrie. Taškent: Fan, 1990.
Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. M.-L.: OGIZ , 1948.

Odkazy

Krátký průvodce sférickou trigonometrií.
Sférická trigonometrie - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Sférická trigonometrie v MathWorld

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus okolo světa Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 120983095 GND : 4182230-4 J9U : 987007548880505171 LCCN : sh85137523 NDL : 00570155

Sférická trigonometrie
Základní pojmy	sférický trojúhelník polární trojúhelník Přebytek Bigon
Vzorce a poměry	Kosinové věty Sinusová věta Pětiprvkový vzorec Vzorec poloviční strany Napierovo mnemotechnické pravidlo Sférická Pythagorova věta Delambre vzorce Napierovy analogické vzorce Legendreova věta Řešení trojúhelníků
související témata	Sférický souřadnicový systém sférická geometrie trojboký úhel