Transformace souřadnic

Transformace souřadnic je nahrazení souřadnicového systému v rovině, v prostoru nebo v nejobecnějším případě na dané dimenzionální varietě . $n$

Příklad přechodu z polárních souřadnic do kartézských v euklidovské rovině : $\{r,\varphi \}$ ${\displaystyle \{x,y\))$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases))

Nejčastěji se transformace souřadnic provádí za účelem přechodu na jednodušší nebo pohodlnější matematický model pro analýzu . Například rovnice některých rovinných křivek v polárních souřadnicích jsou mnohem jednodušší než v kartézských a pro studium osově symetrických těles je vhodné nasměrovat jednu ze souřadnicových os podél osy symetrie.

Definice

Transformace souřadnic je sada pravidel [1] , která přiřazuje každou sadu souřadnic na nějaké dimenzionální varietě k jiné sadě souřadnic : $\{x_{1},x_{2}\tečky x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\tečky x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\tečky x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\tečky x_{n})\\\tečky \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\tečky x_ {n})\end{cases}}

V tomto případě musí být po transformaci zachována korespondence jedna ku jedné mezi body manifoldu a sadami souřadnic (u některých singulárních bodů jsou povoleny výjimky).

Tuto transformaci lze interpretovat dvěma způsoby [2] .

Pasivní hledisko - dochází ke změně souřadnic bodů rozdělovače. Všechny body zůstávají na svých místech.
Aktivní úhel pohledu - transformace přiřadí každému bodu manifoldu jiný bod. Souřadnicový systém se nemění.

Příklad euklidovské roviny :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Tuto transformaci lze interpretovat jedním ze dvou způsobů.

Změna souřadnicového systému, která zvýší úsečku všech bodů o 1.
Přeložte všechny body roviny o 1 rovnoběžně s osou $X.$

Souhrn základních transformačních vzorců pro souřadnicové systémy praktického významu naleznete v článku Souřadnicový systém .

Klasifikace

Podle typu vzorců lze všechny transformace souřadnic seskupit do různých tříd se společnými typickými vlastnostmi. Následují některé prakticky důležité třídy transformací, které lze vzájemně kombinovat.

Izometrie - transformace, které zachovávají všechny délky. Počítaje v to:
- Rotace kolem bodu nebo osy.
- Paralelní přenos .
- Reflexe . Kombinace těchto tří typů se nazývá pohyb .
Konformní mapování , které zachovává všechny úhly. Počítaje v to:
- Podobnost - úhly jsou zachovány, ale všechny délky jsou vynásobeny nějakým konstantním poměrem roztažení/komprese.
Afinní transformace .

Obvykle je rozlišenou třídou skupina transformací ve smyslu obecné algebry , tj. složení dvou transformací patří do stejné třídy a pro každou transformaci existuje inverzní. Studium této skupiny umožňuje vyčlenit symetrie a invarianty transformací.

Invarianty

Invariantem této transformace souřadnic je funkce souřadnic, jejichž hodnoty se po transformaci nemění [3] . Například rotace a translace nemění vzdálenost mezi body v euklidovském prostoru. Invarianty jsou důležitou charakteristikou transformační skupiny.

Viz také

Literatura

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol. - ed. 13. — M .: Nauka, 1986. — 544 s.
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Yaglom I. M. Geometrické transformace. Svazky 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 s.

Odkazy

Zaslavsky A. A. Geometrické transformace Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine .

Poznámky

↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 363..