Legendreův teorém (sférická trigonometrie)

Legendreův teorém ve sférické trigonometrii umožňuje zjednodušit řešení sférického trojúhelníku , pokud je známo, že jeho strany jsou dostatečně malé ve srovnání s poloměrem koule , na které se nachází.

Formulace

Nechť je dán sférický trojúhelník se stranami malými ve srovnání s poloměrem koule , úhly a špičatostí . Postavme trojúhelník na rovině se stranami stejně dlouhými jako odpovídající strany daného kulového trojúhelníku, to znamená, protože strany kulového trojúhelníku mají úhlovou míru a jsou vyjádřeny v radiánech, pak . Označme úhly takového trojúhelníku (vyjádřené v radiánech) jako . Legendreova věta říká, že následující vztahy jsou pravdivé [1] :

Pokud jsou tedy strany kulového trojúhelníku malé ve srovnání s poloměrem koule, můžeme jej nahradit plochým trojúhelníkem se stejně dlouhými stranami a o jednu třetinu špičatosti menšími úhly a vypočítat prvky plochého trojúhelníku.

Historie

Tuto větu formuloval A. M. Legendre v roce 1787 [2] a dokázal ji v roce 1798 [3] . Podle některých zdrojů však byla známa již v roce 1740, kdy Sh.M. de la Condamine jej použil při zpracování stupňovitých měření peruánské expedice [4] .

Poznámky

1. ↑ Stepanov N. N. §55. Legendreova věta // Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 str.
2. ↑ Legendre AM: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, Paříž 1787; 352-383.
3. ↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur exaktní du quart du méridien d'après les pozorování faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des triangles sphériques dont des côtés sont parès rapport de la sphere. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paříž 1798; 12-14
4. ↑ Zbyněk Naděník. Legendreova věta o sférických trojúhelníkech . Archivováno z originálu 16. ledna 2014.