Hrana (geometrie)


Tři hrany AB, BC a CA, každá spojující dva vrcholy trojúhelníku .
Mnohoúhelník ohraničený hranami (v tomto případě čtverec se 4 hranami).

Každá hrana je sdílena dvěma plochami mnohostěnu , v tomto případě krychle .
Jakákoli hrana je sdílena třemi nebo více plochami čtyřrozměrného mnohostěnu , jak je vidět v této projekci tesseractu .

Hrana v geometrii  je úsečka spojující dva vrcholy mnohoúhelníku nebo mnohostěnu (v rozměrech 3 a vyšších) [1] . V polygonech je hrana segment, který leží na hranici [2] a je častěji nazýván stranou polygonu. U trojrozměrných mnohostěnů a u mnohostěnů vyššího rozměru je hrana úsečka společná dvěma plochám [3] . Úsek spojující dva vrcholy a procházející vnitřními nebo vnějšími body není hranou a nazývá se úhlopříčka .

Spojení s hranami grafu

Libovolný mnohostěn může být reprezentován jeho okrajovou kostrou , tedy grafem, jehož vrcholy jsou geometrickými vrcholy mnohostěnu a hrany grafu odpovídají geometrickým hranám [4] . A naopak, grafy, které jsou kostrami trojrozměrných polytopů podle Steinitzovy věty  , jsou stejné jako vertex-k-spojené rovinné grafy [5] .

Počet hran v mnohostěnu

Jakýkoli povrch konvexního mnohostěnu má Eulerovu charakteristiku

kde  je počet vrcholů ,  je počet hran a  je počet ploch . Tato rovnost je známá jako Eulerův vzorec. Počet hran je tedy o 2 menší než součet počtu vrcholů a ploch. Například krychle má 8 vrcholů a 6 ploch, a tedy (podle vzorce) 12 hran.

Incident s jinými tvářemi

V mnohoúhelníku se dvě hrany (strany) sbíhají v každém vrcholu. Podle Balinského teorému se alespoň hrany sbíhají v každém vrcholu -rozměrného konvexního mnohostěnu [6] . Podobně ve 3D polytopu sdílejí hranu přesně dvě 2D plochy [7] , zatímco ve vícedimenzionálních mnohostěnech mohou tři nebo více 2D ploch sdílet společnou hranu.

Alternativní terminologie

V teorii vysokorozměrných konvexních mnohostěnů (nad 3) je faseta (strana -rozměrného mnohostěnu) -rozměrná tvář. Hrany (strany) mnohoúhelníku jsou tedy také fasetami (u trojrozměrných mnohostěnů budou plochy fasetami) [8] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Ziegler, 1995 , str. 51, definice 2.1.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge." Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html Archivováno 26. července 2020 na Wayback Machine
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge." Z MathWorld – webový zdroj Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html Archivováno 24. května 2016 na Wayback Machine
  4. ↑ Senechal, 2013 , str. 81.
  5. ↑ Pisanski, Randic, 2000 , str. 174–194.
  6. ↑ Balinski, 1961 , str. 431–434.
  7. ↑ Wenninger, 1974 , str. jeden.
  8. ↑ Seidel, 1986 , s. 404–413.

Literatura

Odkazy