Euklidův axiom rovnoběžnosti

Euklidův axiom rovnoběžnosti nebo pátý postulát je jedním z axiomů , které jsou základem klasické planimetrie . Poprvé uveden v " Principech " od Euklida [1] :

A pokud úsečka padající na dvě čáry tvoří vnitřek a na jedné straně svírá úhly menší než dvě úsečky , pak se tyto čáry prodloužené na neurčito setkají na straně, kde jsou úhly menší než dvě úsečky.

Původní text  (stará řečtina)[ zobrazitskrýt] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euclid používá pojmy postulát a axiom , aniž by vysvětlil jejich rozdíly; v různých rukopisech „Počátků“ Euklida je rozdělení výroků na axiomy a postuláty různé, stejně jako se jejich pořadí neshoduje. V Geibergově klasickém vydání Principia je uvedené tvrzení pátým postulátem.

V moderním jazyce lze Euklidův text přeformulovat takto [2] :

Je-li [v rovině] v průsečíku dvou přímek třetí součet vnitřních jednostranných úhlů menší než 180°, pak se tyto přímky protínají s dostatečným pokračováním a navíc na straně, ze které tento součet je menší než 180°.

Upřesnění, na které straně se čáry protínají, dodal Euklides, pravděpodobně pro názornost - lze snadno dokázat, že vyplývá ze samotného faktu existence průniku [2] .

Pátý postulát se extrémně liší od ostatních Euklidových postulátů, které jsou jednodušší a zjevnější (viz Euklidovské prvky ). Proto po dvě tisíciletí neustaly pokusy vyloučit ji ze seznamu axiomů a odvodit ji jako větu . Všechny tyto pokusy skončily neúspěchem. „Pravděpodobně je nemožné najít ve vědě vzrušující a dramatičtější příběh než příběh Euklidova pátého postulátu“ [3] . Navzdory negativnímu výsledku nebyla tato hledání marná, protože nakonec vedla k revizi vědeckých představ o geometrii Vesmíru [4] .

Ekvivalentní formulace paralelního postulátu

V moderních pramenech se obvykle uvádí jiná formulace postulátu paralel, ekvivalentní postulátu V a patřící Proklovi [5] (někdy se nazývá Playfairův axiom ):

V rovině , bodem , který není na dané přímce , může být nakreslena jedna a pouze jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou.

V této formulaci jsou slova „jeden a jen jeden“ často nahrazována slovy „pouze jeden“ nebo „ne více než jeden“, protože existence alespoň jedné takové paralely bezprostředně vyplývá z vět 27 a 28 Euklidových prvků.

Obecně má pátý postulát obrovské množství ekvivalentních formulací, z nichž mnohé se samy o sobě zdají být zcela zřejmé. Zde jsou některé z nich [6] [7] [8] .

Jejich ekvivalence znamená, že všechny lze dokázat, pokud přijmeme postulát V, a naopak, nahradíme-li postulát V kterýmkoli z těchto tvrzení, můžeme původní postulát V dokázat jako větu.

Pokud místo postulátu V předpokládáme, že pro dvojici bodů - přímku je postulát V nesprávný, pak výsledný systém axiomů bude popisovat geometrii Lobačevského . Je jasné, že v geometrii Lobačevského jsou všechna výše uvedená ekvivalentní tvrzení nepravdivá.

Pátý postulát se ostře vymyká ostatním, je zcela zřejmý, vypadá spíše jako složitá, nezřejmá věta. Euklides si toho byl pravděpodobně vědom, a proto prvních 28 vět v Živlech je dokázáno bez jeho pomoci.

„Euklides jistě musel znát různé formy paralelního postulátu“ [5] . Proč zvolil redukovaný, složitý a těžkopádný? Historici spekulovali o důvodech této volby. V.P. Smilga věřil, že Euklides takovou formulací naznačil, že tato část teorie byla neúplná [10] . M. Kline upozorňuje na skutečnost, že Euklidův pátý postulát má lokální charakter, to znamená, že popisuje událost na omezené ploše roviny, zatímco například Proklova formulace prosazuje fakt paralelismu, který vyžaduje zvážení celé nekonečné přímky [11] . Musí být jasné, že starověcí matematici se vyhýbali používání skutečného nekonečna ; například druhý Euklidův postulát netvrdí nekonečnost linie, ale pouze to, že „linii lze plynule prodlužovat“. Z pohledu starověkých matematiků by se výše uvedené ekvivalenty paralelního postulátu mohly jevit jako nepřijatelné: buď odkazují na skutečné nekonečno nebo (dosud nezavedený) koncept měření, nebo také nejsou příliš zřejmé. Jinou verzi předložil historik Imre Toth [12] : Euklidovská formulace mohla být (chybně dokázanou) větou jednoho z Euklidových předchůdců, a když byli přesvědčeni, že ji nelze dokázat, status teorém byl povýšen na postulát, aniž by se změnilo znění.

Absolutní geometrie

Pokud je postulát V vyloučen ze seznamu axiomů, pak výsledný systém axiomů bude popisovat tzv. absolutní geometrii . Zejména prvních 28 teorémů Euklidových „Principů“ je dokázáno bez použití postulátu V, a proto se vztahují k absolutní geometrii. K tomu, co následuje, si všimneme dvou vět o absolutní geometrii:

Pokusy dokázat

Matematici se dlouho pokoušeli „vylepšit Euklida“ – buď pátý postulát vyloučit z počtu počátečních tvrzení, tedy dokázat jej, opírajíce se o zbytek postulátů a axiomů, nebo jej nahradit jiným, jak je zřejmé. jako jiné postuláty. Naději na dosažitelnost tohoto výsledku podpořila skutečnost, že IV postulát Euklida ( všechny pravé úhly jsou stejné ) se skutečně ukázal jako nadbytečný - byl důsledně dokázán jako teorém a vyloučen ze seznamu axiomů [6]. .

V průběhu dvou tisíciletí bylo navrženo mnoho důkazů pátého postulátu, ale dříve nebo později byla v každém z nich objevena logická chyba („ začarovaný kruh v důkazu “): ukázalo se, že mezi explicitními nebo implicitními premisami existuje bylo tvrzení, které nebylo možné dokázat bez použití stejného pátého postulátu.

Proclus ( 5. století našeho letopočtu) ve svém „Komentáři ke knize I. Euklidových prvků“ uvádí, že Claudius Ptolemaios nabídl takový důkaz , kritizuje jeho důkaz a nabízí svůj vlastní [13] . V poněkud zjednodušené podobě to lze popsat takto: nechejte přímku procházet daným bodem rovnoběžně s přímkou ​​; dokážeme, že jakákoli jiná přímka procházející stejným bodem přímku protíná . Jak bylo uvedeno výše, vzdálenost mezi úsečkami od bodu jejich průsečíku se neomezeně zvětšuje (ještě jednou zdůrazňujeme, že důkaz této věty není založen na V postulátu). Pak ale nakonec vzdálenost mezi a přesáhne vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami, tedy přímkami a se protnou.

Výše uvedený důkaz je založen na předpokladu, že vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami je konstantní (nebo alespoň omezená). Následně se ukázalo, že tento předpoklad je ekvivalentní pátému postulátu.

Posidonius (I. století př. n. l.) navrhl definovat rovnoběžky jako přímky, které jsou od sebe po celé délce stejně vzdálené. Z této definice lze snadno odvodit pátý postulát. Definice Posidonia je však nesprávná: odnikud nevyplývá, že přímka ekvidistantní od dané přímky je přímka [14] .

Po úpadku starověké kultury se postulát V chopili matematici zemí islámu. Důkaz al-Jawhariho , studenta al-Khwarizmiho ( IX. století ) [15] , implicitně implikoval: jsou-li na průsečíku dvou čar kterékoli třetí úhly příčně ležící stejné, pak se totéž stane, když stejné dvě čáry protínají jakoukoli jinou. A tento předpoklad je ekvivalentní pátému postulátu.

Thabit ibn Qurra ( 9. století ) podal dva důkazy; v prvním se opírá o předpoklad, že pokud se dvě čáry od sebe na jedné straně vzdalují, nutně se přibližují na druhé straně. Ve druhém, stejně jako Posidonius, vychází z existence ekvidistantních přímek a Ibn Kurra se snaží tuto skutečnost odvodit z konceptu „prostého pohybu“, tedy rovnoměrného pohybu v pevné vzdálenosti od přímky (zdá se zřejmé mu, že dráha takového pohybu je také přímka) [16] . Každý ze dvou zmíněných výroků Ibn Qurry je ekvivalentní pátému postulátu.

Ibn al-Haytham udělal podobnou chybu , ale nejprve zvážil postavu, která se později stala známou jako „ Lambertův čtyřúhelník “ - čtyřúhelník se třemi vnitřními úhly, které jsou pravé. Pro čtvrtý úhel formuloval tři možné varianty: ostrý, rovný, tupý. Diskuse o těchto třech hypotézách v různých verzích se opakovaně objevila v pozdějších studiích.

Básník a matematik Omar Khayyam kritizoval pokusy zavést mechanický pohyb do geometrie. Navrhl nahradit postulát V jiným, jednodušším: dvě sbíhající se čáry se protínají a je nemožné, aby se dvě sbíhající se čáry rozcházely ve směru konvergence. Každá ze dvou částí tohoto tvrzení je ekvivalentní Euklidovu postulátu [17] .

Al-Abhari nabídl důkaz podobný důkazu al-Jawhariho . Al-Samarkandi cituje tento důkaz ve své knize a řada badatelů jej považovala za autora samotného al-Samarkandiho. Důkaz vychází z tvrzení, pravdivého v absolutní geometrii, že pro jakoukoli přímku protínající strany daného úhlu lze sestrojit ještě jednu přímku, která protíná strany stejného úhlu a je dále od jeho vrcholu než ta první. Z tohoto tvrzení však autor vyvozuje logicky nepodložený závěr, že kterýmkoli bodem uvnitř daného úhlu je možné nakreslit čáru protínající obě strany tohoto úhlu – a na tomto posledním tvrzení, které je ekvivalentní postulátu V, vše dále důkaz.

Nasir ad-Din at-Tusi navrhl konstrukci podobnou té Omar Khayyam [18] . Všimněte si, že práce at-Tusiho se stal známým Johnu Vallisovi , a tak hrál roli ve vývoji výzkumu neeuklidovské geometrie v Evropě.

První nám známý pokus v Evropě dokázat axiom Euklidova paralelismu navrhl Gersonides (aka Levi ben Gershom, XIV. století ), který žil v Provence (Francie ). Jeho důkaz byl založen na tvrzení o existenci obdélníku [19] .

Důkazy jezuitského vědce Christophera Clavia se datují do 16. století . Jeho důkaz, stejně jako důkaz ibn Qurry, byl založen na tvrzení, že přímka stejně vzdálená od přímky je také přímka [20] .

Wallis v roce 1693 v jednom ze svých děl reprodukuje překlad al-Tusiho díla a nabízí ekvivalentní, ale jednodušší formulaci: existují podobná, ale ne stejná čísla [21] . Claude Clairaut ve svých „ Principech of Geometry “ ( 1741 ), stejně jako Gersonides, místo postulátu V vzal jeho ekvivalent „existuje obdélník“.

Obecně lze říci, že všechny výše uvedené pokusy přinesly značné výhody: mezi postulátem V a dalšími tvrzeními byla nastolena souvislost, jasně byly formulovány dvě alternativy k postulátu V - hypotéza ostrého a tupého úhlu.

První skici neeuklidovské geometrie

Hluboké studium pátého postulátu, založené na zcela originálním principu, provedl v roce 1733 italský jezuitský mnich, učitel matematiky Girolamo Saccheri . Publikoval dílo nazvané „ Euklides, očištěný od všech skvrn, aneb geometrický pokus stanovit úplně první principy veškeré geometrie “. Saccheriho myšlenkou bylo nahradit postulát V opačným tvrzením, vyvodit co nejvíce důsledků z nového systému axiomů, a tím zkonstruovat „falešnou geometrii“, a nalézt v této geometrii rozpory nebo zjevně nepřijatelná ustanovení. Pak bude platnost V postulátu prokázána kontradikcí [22] .

Saccheri uvažuje všechny tři stejné hypotézy o 4. úhlu Lambertova čtyřúhelníku. Hypotézu tupého úhlu z formálních důvodů okamžitě zamítl. Je snadné ukázat, že v tomto případě se obecně všechny přímky protínají, a pak můžeme usoudit, že Euklidův postulát V je pravdivý – ostatně jen uvádí, že za určitých podmínek se přímky protínají. Odtud se usuzuje, že „ hypotéza tupého úhlu je vždy zcela nepravdivá, protože se sama ničí “ [23] .

Poté Saccheri pokračuje ve vyvracení „hypotézy akutního úhlu“ a zde je jeho studie mnohem zajímavější. Připouští, že je to pravda, a jeden po druhém dokazuje celou řadu důsledků. Aniž by to věděl, posouvá se v konstrukci Lobačevského geometrie poměrně daleko . Mnohé z teorémů dokázaných Saccherim se zdají intuitivně nepřijatelné, ale on pokračuje v řetězci teorémů. Nakonec Saccheri dokazuje, že ve „falešné geometrii“ se libovolné dvě přímky buď protínají, nebo mají společnou kolmici, na jejíchž obou stranách se od sebe vzdalují, nebo se od sebe na jedné straně vzdalují a na druhé neomezeně přibližují. V tomto bodě Saccheri dělá neočekávaný závěr: „ hypotéza ostrého úhlu je zcela nepravdivá, protože odporuje povaze přímky “ [24] .

Saccheri zjevně cítil neopodstatněnost tohoto „důkazu“, protože studie stále probíhá. Uvažuje ekvidistantu  - místo bodů roviny, stejně vzdálené od přímky; na rozdíl od svých předchůdců Saccheri chápe, že v tomto případě vůbec nejde o přímku. Při výpočtu délky jejího oblouku se však Saccheri dopustí chyby a dojde ke skutečnému rozporu, načež studii ukončí a s úlevou prohlásí, že „ tuto zákeřnou hypotézu vyvrátil “. Bohužel průkopnické dílo Saccheriho, vydané posmrtně, nevzbudilo pozornost matematiků, kterou by si zasloužilo, a až o 150 let později ( 1889 ) objevil toto zapomenuté dílo jeho krajan Beltrami a ocenil jeho historický význam.

Ve druhé polovině 18. století bylo publikováno více než 50 prací o teorii paralel. V přehledu oněch let ( G. S. Klugel ) je zkoumáno více než 30 pokusů dokázat pátý postulát a je prokázána jejich mylnost. O problém se začal zajímat i slavný německý matematik a fyzik J. G. Lambert , s nímž si Klugel dopisoval; jeho "Teorie paralelních čar" byla vydána (stejně jako Saccheriho práce, posmrtně) v roce 1786 .

Lambert byl první, kdo objevil, že "geometrie tupého úhlu" je realizována na kouli , pokud přímkami myslíme velké kruhy . Stejně jako Saccheri odvodil mnoho důsledků z „hypotézy akutního úhlu“ a pokročil mnohem dále než Saccheri; zejména zjistil, že součet součtu úhlů trojúhelníku na 180° je úměrný ploše trojúhelníku.

Ve své knize Lambert bystře poznamenal [25] :

Zdá se mi velmi pozoruhodné, že druhá hypotéza [o tupém úhlu] je oprávněná, pokud místo plochých trojúhelníků vezmeme kulové. Skoro bych z toho musel vyvodit závěr - závěr, že třetí hypotéza platí v nějaké imaginární sféře . V každém případě musí existovat důvod, proč to není zdaleka tak snadné vyvrátit v rovině, jak by se to dalo udělat s ohledem na druhou hypotézu.

Lambert nenašel rozpor v hypotéze ostrého úhlu a dospěl k závěru, že všechny pokusy dokázat V postulát byly beznadějné. Nevyjádřil žádné pochybnosti o nepravdivosti „geometrie ostrého úhlu“, avšak soudě podle své další bystré poznámky Lambert přemýšlel o možné fyzikální realitě neeuklidovské geometrie ao důsledcích toho pro vědu. 26] :

Je na tom něco obdivuhodného, ​​kvůli čemu si člověk přeje, aby byla třetí hypotéza pravdivá. A přesto bych byl rád, <…> aby tomu tak nebylo, protože by to bylo spojeno s řadou <…> nepříjemností. Trigonometrické tabulky by se staly nekonečně objemnými, podobnost a proporcionalita obrazců by vůbec neexistovala <...>, astronomie by byla špatná.

Pozoruhodné dílo Lamberta stejně jako Saccheriho kniha daleko předběhlo dobu a nevzbudilo zájem tehdejších matematiků. Stejný osud potkal „ astrální geometrii “ německých matematiků F.K.

Mezitím pokračovaly pokusy „smýt skvrny“ od Euklida (Louis Bertrand, Legendre , Semjon Gurjev a další). Legendre podal až tři důkazy pátého postulátu, jehož mylnost rychle ukázali jeho současníci [27] . Svůj poslední „důkaz“ publikoval v roce 1823, tři roky před Lobačevského první zprávou o nové geometrii.

Objev neeuklidovské geometrie

V první polovině 19. století šli cestou, kterou položil Saccheri , K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobačevskij a F. K. Schweikart . Jejich cíl už byl ale jiný – neodhalit neeuklidovskou geometrii jako nemožnou, ale naopak postavit alternativní geometrii a zjistit její možnou roli v reálném světě. Tehdy to byla zcela kacířská myšlenka; žádný z vědců dříve nepochyboval o tom, že fyzický prostor je euklidovský. Zajímavé je, že Gausse a Lobačevského učil v mládí stejný učitel – Martin Bartels , který však sám neeuklidovskou geometrii nestudoval.

První byl Schweikart. V roce 1818 poslal Gaussovi dopis se seriózní analýzou základů neeuklidovské geometrie, ale zdržel se toho, aby své názory uvedl do veřejné diskuse. Gauss se také neodvážil publikovat práci na toto téma, ale jeho návrhy poznámek a několik dopisů jasně potvrzují hluboké porozumění neeuklidovské geometrii. Zde jsou některé charakteristické úryvky z Gaussových dopisů, kde se poprvé ve vědě objevuje termín „ neeuklidovská geometrie “ [28] :

Předpoklad, že součet tří úhlů trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní, zcela odlišné od naší [euklidovské] geometrie; tato geometrie je dokonale konzistentní a vyvinul jsem ji pro sebe docela uspokojivě; Mám možnost v této geometrii řešit jakýkoli problém, kromě určení určité konstanty [29] , jejíž hodnotu nelze a priori stanovit.

Čím větší hodnotu této konstantě dáme, tím více se blížíme k euklidovské geometrii a její nekonečně velká hodnota vede ke shodě obou systémů. Návrhy této geometrie se nezvyklému člověku zčásti zdají paradoxní až absurdní; ale s přísnou a klidnou reflexí se ukazuje, že neobsahují nic nemožného. Takže například všechny tři úhly trojúhelníku mohou být libovolně malé, pokud se vezmou pouze dostatečně velké strany; plocha trojúhelníku nemůže přesáhnout, nemůže dokonce dosáhnout určité hranice, ať jsou jeho strany jakkoli velké. Veškeré mé snahy najít v této neeuklidovské geometrii rozpor nebo nekonzistenci byly neplodné a jediné, co odporuje našemu rozumu v tomto systému, je to, že ve vesmíru, pokud by tento systém platil, by muselo existovat nějaké sebeurčení. (ačkoli nám neznámý) je lineární veličina. Ale zdá se mi, že kromě verbální moudrosti metafyziků, která nic nevyjadřuje, víme o podstatě prostoru velmi málo nebo dokonce nic. (Z dopisu Taurinus , 1824 )

V roce 1818 v dopise rakouskému astronomovi Gerlingovi Gauss vyjádřil své obavy [30] :

Jsem rád, že máte odvahu promluvit, jako byste připouštěl nepravdivost naší teorie paralel a zároveň celé naší geometrie. Ale vosy, jejichž hnízdo narušíte, vám poletí na hlavu.

Poté, co se seznámil s prací Lobachevského „Geometrická vyšetřování v teorii paralel“, Gauss energicky žádá o zvolení ruského matematika za zahraničního dopisujícího člena Královské společnosti v Göttingenu (což se stalo v roce 1842 ).

Lobačevskij a Boljaj projevili více odvahy než Gauss a téměř současně (Lobačevskij - ve zprávě z roku 1826 a publikaci z roku 1829 ; Boljai - v dopise z roku 1831 a publikaci z roku 1832 ), nezávisle na sobě, zveřejnili prezentaci toho, co se nyní nazývá geometrie Lobačevskij . Lobačevskij pokročil ve studiu nové geometrie nejdále a v současnosti nese jeho jméno. Jeho hlavní zásluha ale není v tom, ale v tom, že věřil nové geometrii a měl odvahu hájit své přesvědčení (dokonce navrhl experimentálně ověřit postulát V měřením součtu úhlů trojúhelníku) [31 ] .

V úvodu své knihy Nové principy geometrie Lobačevskij rozhodně uvádí [32] :

Každý ví, že v geometrii zůstala teorie rovnoběžek dosud nedokonalá. Marné úsilí od dob Eukleida, v průběhu dvou tisíc let, ve mně vyvolalo podezření, že samotné pojmy ještě neobsahují pravdu, kterou chtěli dokázat a kterou lze stejně jako jiné fyzikální zákony ověřit pouze experimenty, např. jako např. astronomická pozorování.< …> Hlavní závěr <…> připouští existenci geometrie v širším smyslu, než jak nám ji předkládal první Euklides. V této rozšířené podobě jsem dal vědě název Imaginární geometrie, kam jako speciální případ vstupuje použitelná geometrie.

Tragický osud Lobačevského, který byl ve vědeckém světě a oficiálním prostředí ostrakizován za příliš odvážné myšlenky, ukázal, že Gaussovy obavy nebyly plané. Jeho boj ale nebyl marný. Je ironií, že triumf smělých myšlenek Lobačevského zajistil (posmrtně) opatrný Gauss. V 60. letech 19. století vyšla Gaussova korespondence, včetně několika nadšených recenzí Lobachevského geometrie, což přitáhlo pozornost k dílům ruského matematika. V roce 1868 vyšel článek E. Beltramiho , který ukázal, že Lobačevského rovina má konstantní negativní zakřivení (euklidovská rovina má nulové zakřivení, koule  kladné); velmi rychle získala neeuklidovská geometrie právní vědecký status, i když byla stále považována za čistě spekulativní [33] .

Na konci 19. a počátku 20. století nejprve matematici ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ) a poté fyzici ( Obecná teorie relativity , Einstein ), definitivně ukončili dogma o euklidovské geometrii fyzického prostoru [4 ] .

Na důkaz nezávislosti

Nezávislost pátého postulátu znamená, že jeho negace není v rozporu se zbytkem axiomů geometrie (za předpokladu, že Euklidova geometrie je konzistentní). Zároveň to znamená konzistenci Lobačevského geometrie . Ve skutečnosti platí následující věta [34] .

Teorém. Lobachevského geometrie je konzistentní právě tehdy, když je konzistentní euklidovská geometrie.

K prokázání tohoto teorému v moderní matematice se používají modely jedné geometrie v jiné. V modelu pro body, čáry a další objekty první geometrie jsou objekty konstruovány v rámci druhé geometrie tak, aby byly pro konstruované objekty splněny axiomy prvního. Pokud by se tedy rozpor našel v prvním systému axiomů, byl by nalezen i ve druhém.

Je těžké přesně specifikovat, kdo a kdy tuto větu dokázal.

V jistém smyslu můžeme předpokládat, že to již udělal Lobačevskij. Lobačevskij si skutečně všiml, že geometrie orosféry v Lobačevském prostoru není nic jiného než euklidovská rovina; existence rozporu v euklidovské geometrii by tedy znamenala rozpor v geometrii Lobachevského [35] . V moderním jazyce postavil Lobačevskij model euklidovského letadla v Lobačevském prostoru. Opačným směrem jeho konstrukce probíhala analyticky a konzistence Lobačevského geometrie vyplývala z konzistence reálné analýzy.

Navzdory tomu, že měl tyto nástroje, Lobachevsky neuvedl samotný teorém konzistence . Pro jeho rigorózní formulaci byla zapotřebí logická analýza základů geometrie , kterou později provedli Pash , Hilbert a další [34] .

Za vzhled konceptu modelu vděčíme Beltrami . V roce 1868 sestrojil projektivní model , konformně euklidovský model a také lokální model na tzv. pseudosféře . Beltrami byl také první, kdo viděl spojení mezi Lobačevského geometrií a diferenciální geometrií.

Modely konstruované Beltramim byly vyvinuty později Kleinem a Poincaré , díky nim se konstrukce výrazně zjednodušila a byly objeveny i souvislosti a aplikace nové geometrie na projektivní geometrii a komplexní analýzu . Tyto modely přesvědčivě dokazují, že popření pátého postulátu není v rozporu se zbytkem axiomů geometrie; z toho plyne, že V postulát je nezávislý na ostatních axiomech a není možné jej dokázat [33] .

Pátý postulát a další geometrie

Jak je ukázáno výše, přidání pátého postulátu nebo jeho negace ke zbytku Euklidových axiomů tvoří Euklidovu geometrii nebo Lobachevského geometrii . Pro ostatní běžné homogenní geometrie není role pátého postulátu tak velká.

Systém axiomů sférické geometrie vyžaduje výraznější přepracování Euklidových axiomů, neboť v něm nejsou žádné rovnoběžné čáry [36] . V projective geometrii , jeden může definovat paralelní linky jako linky, které protínají jediný u bodu u nekonečna; pak se pátý postulát stává prostým důsledkem axiomu: " skrze dva body lze nakreslit jednu a pouze jednu přímku ." Pokud totiž určíme přímku a bod mimo ni a pak použijeme výše uvedený axiom pro a bod v nekonečnu, pak výsledná přímka bude rovnoběžná a zjevně jednoznačně určená [37] .

Poznámky

  1. ↑ Euklidovské počátky / Překlad z řečtiny a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského za redakční účasti M. Ya. Vygodského a I. N. Veselovského. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Archivovaný výtisk (nepřístupný odkaz) . Získáno 25. dubna 2008. Archivováno z originálu 6. dubna 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobačevskij, 1948 , str. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , str. čtyři.
  4. ↑ 1 2 Zacharov V. D. Gravitace: od Aristotela k Einsteinovi . Staženo: 28. května 2020.
  5. ↑ 1 2 Historie matematiky / Edited by A. P. Yushkevich , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Komentáře k Euklidovým „Začátkům“, knihám I-VI. Dekret. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Euklidův pátý postulát . Získáno 17. března 2008. Archivováno z originálu dne 13. května 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobačevskij, 1948 , str. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , s. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , str. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty . - M .: Mir, 1984. - S. 94-95. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 13. března 2010. Archivováno z originálu 12. února 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Archiv pro dějiny exaktních věd . - Berlín-Heidelberg-New York, 1967. - svazek 3 , č. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , str. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobačevskij a jeho geometrie. - M. : Vzdělávání, 1976. - S. 71. - 112 s.
  15. ↑ Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. Kniha, že se setkávají dvě čáry nakreslené pod úhlem menším než dvě přímky / Překlad a poznámky B. A. Rosenfelda. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Traktáty / Přeložil B. A. Rosenfeld. Editoval V. S. Segal a A. P. Juškevič. Článek a komentáře B. A. Rosenfelda a A. P. Juškeviče. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. Traktát uzdravující pochybnosti o paralelních liniích / Překlad B. A. Rosenfelda, poznámky B. A. Rosenfelda a A. P. Juškeviče. - M .: IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Důkazy pátého postulátu Euklida od středověkých matematiků Hassana ibn al-Khaythama a Lea Gersonidese. - M .: IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. - Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera mathematica, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. In: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Lipsko, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. In: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Lipsko, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berlín, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , str. 121.
  27. ↑ Dějiny matematiky, III. díl, s. 218.
  28. ↑ K základům geometrie, s. 101-120.
  29. ↑ Z dalšího písmene vyplývá, že konstanta je , kde označuje zakřivení .
  30. ↑ O základech geometrie, str. 119-120.
  31. ↑ Lobačevskij N. I. Práce o geometrii (Kompletní sbírka prací, sv. 1-3). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ O základech geometrie, str. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Beltramiho modely neeuklidovské geometrie  (anglicky) . Získáno 16. července 2016. Archivováno z originálu 7. ledna 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A. V. Základy geometrie. - Ed. 4. - M .: Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 str.
  35. ↑ viz položka 34 v Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (německy) . — Berlín: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Hilbertovy axiomy upravené pro rovinnou eliptickou geometrii  . // Geometry Survey . Získáno 18. října 2016. Archivováno z originálu 19. října 2016.
  37. ↑ Volberg O. A. Základní myšlenky projektivní hegmetrie. - Ed. 3. - M. - L . : Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 s.

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
V bibliografických katalozích