Axiom Playfair

Axiom Playfair je axiom , který lze použít místo pátého Euklidova postulátu ( axiom rovnoběžnosti ):

Je-li dána přímka v rovině a bod mimo tuto přímku, lze bodem vést nejvýše jednu přímku rovnoběžnou s danou přímkou ​​[1] .

Playfairův axiom je ekvivalentní Euklidovu axiomu rovnoběžnosti v kontextu euklidovské geometrie [2] . Axiom byl pojmenován po skotském matematikovi Johnu Playfairovi . Fráze „nejvýše jeden“ je vše, co je potřeba, protože ze zbývajících axiomů lze dokázat, že existuje alespoň jeden řádek. Výrok se často píše jako „existuje jedna a pouze jedna paralela“. V Euklidových „prvcích“ se dvě přímky nazývají rovnoběžné, pokud se neprotínají a jiné popisy rovnoběžných čar se nepoužívají [3] [4] .

Axiom se používá nejen v euklidovské geometrii, ale také v afinní geometrii , ve které je ústředním prvkem rovnoběžnost. Z hlediska afinní geometrie je zapotřebí silnější forma Playfairova axiomu (ve kterém je „nanejvýš jeden“ nahrazeno „jeden a jediný“), protože axiomy neutrální geometrie neposkytují důkaz existence. Playfairská verze axiomu se stala tak populární, že je označována jako Euklidův axiom paralelismu [5] , ačkoliv to není euklidovská verze axiomu. Z axiomu vyplývá, že binární relace rovnoběžnosti přímek je sériová relace .

Historie

Proclus (410–485 n. l.) objasňuje prohlášení axiomu ve svém komentáři k Euklidovi I.31 (kniha I, tvrzení 31) [6] .

V roce 1785 William Ludlum uvedl axiom paralelismu takto [7] :

Dvě přímky protínající se v bodě nemohou být rovnoběžné s třetí přímkou.

Toto krátké vyjádření euklidovského paralelismu si vypůjčil Playfair ve své knize Elements of Geometry ( Elements of Geometry , 1795), která byla často přetištěna. Napsal [8] :

Dvě protínající se čáry nemohou být obě rovnoběžné se stejnou třetí čárou.

Playfair poděkoval Ludlumovi a dalším za zjednodušení Euklidova prohlášení. Následně se dostal do popředí průsečík dvou přímek a negace dvou rovnoběžných přímek se změnila v jednoznačnost rovnoběžných přímek procházejících daným bodem [9] .

V roce 1883 byl Arthur Cayley prezidentem Britské asociace a vyjádřil tento názor ve svém projevu k asociaci [10] :

Z mého pohledu Euklidův dvanáctý axiom ve formě Playfair nevyžaduje důkaz, ale je součástí našeho konceptu prostoru, fyzického prostoru naší zkušenosti, který je reprezentací naší životní zkušenosti.

Když David Hilbert napsal svou knihu Základy geometrie (1899) [11] , představující novou sadu axiomů pro euklidovskou geometrii, použil ve své diskusi o paralelních liniích axiom Playfair spíše než původní verzi Euklida [12] .

Spojení s Euklidovým pátým postulátem

Euklidův axiom paralelismu říká:

Pokud úsečka protíná dvě přímky , které tvoří dva vnitřní úhly na jedné straně, což dává dohromady méně než dva pravé úhly , pak se dvě přímky, prodloužené do nekonečna, protínají na straně, na které je součet úhlů menší než dva. pravé úhly [13] .

Složitost tohoto tvrzení ve srovnání s formulací Playfair jasně ukazuje důvod popularity Playfairova axiomu při diskusi o axiomu paralelismu.

V kontextu absolutní geometrie jsou tyto dva výroky ekvivalentní, což znamená, že jeden výrok může být dokázán od druhého vzhledem k jiným axiomům geometrie. Tvrzení nejsou logicky ekvivalentní (což by znamenalo, že jedno lze od druhého dokázat pouze formální inferencí), protože např. ve sférickém modelu eliptické geometrie je jedno tvrzení pravdivé a druhé nepravdivé [14] . Logicky ekvivalentní tvrzení je pravdivé ve všech modelech, ve kterých je interpretováno.

Níže uvedené důkazy předpokládají, že platí všechny axiomy absolutní (neutrální) geometrie.

Playfairův axiom vyplývá z Euklidova pátého postulátu

Nejjednodušší způsob, jak to ukázat, je použít Euklidovu větu (ekvivalent pátého postulátu), která říká, že součet úhlů trojúhelníku se rovná dvěma pravým úhlům. Je-li dána přímka a bod P je mimo ni, sestrojíme přímku t kolmou k dané přímce a procházející bodem P a potom kolmici k této kolmici bodem P . Tato přímka je rovnoběžná s přímkou , protože nemůže protnout přímku a vytvořit trojúhelník, jak je uvedeno ve výroku 27 knihy 1 v Euklidových prvcích [15] . Nyní je jasné, že žádná jiná paralela neexistuje. Pokud by n byla druhá rovnoběžná přímka procházející bodem P , pak by n svíralo ostrý úhel s přímkou ​​t (protože není kolmá) a za předpokladu, že hypotéza pátého postulátu je pravdivá , by se n protínalo s [16 ] .

Playfairův axiom implikuje Euklidův pátý postulát

Pokud z Playfairova postulátu vyplývá, že kolmice ke kolmici je rovnoběžná s původní přímkou, musí se přímky z Euklidovy konstrukce protínat. Musí se dokázat, že se budou protínat na straně, na které je součet úhlů menší než dva pravé úhly, ale tento důkaz je mnohem složitější [17] .

Tranzitivita paralelismu

Euklidův výrok 30 uvádí: "Dvě čáry, z nichž každá je rovnoběžná s třetí čárou, jsou rovnoběžné." De Morgan poznamenal [18] , že toto tvrzení je logicky ekvivalentní axiomu Playfair. Tuto poznámku zopakoval T. L. Heath v roce 1908 [19] . De Morganův argument je tento: Nechť X je množina zřetelných dvojic protínajících se čar a Y množina zřetelných dvojic čar paralelních ke stejné společné přímce. Pokud z představuje pár odlišných řádků, pak příkaz

Pro všechna z , pokud z je v X , pak z není v Y ,

je Playfairův axiom (v de Morganových termínech, č. X je Y ) a jeho logicky ekvivalentní kontrapozice je ,

Pro všechna z , pokud z leží v Y , pak z neleží v X ,

je Euklidovo I.30 tvrzení o tranzitivitě rovnoběžnosti (ne Y je X ).

Nedávno byla implikace přeformulována z hlediska vztahu binárního rovnoběžnosti čar : V afinní geometrii je vztah považován za vztah ekvivalence , což znamená, že přímka je považována za paralelní sama se sebou . Andy Liu [20] napsal: „Nechť P je bod, který není na přímce 2. Předpokládejme, že přímka 1 i přímka 3 procházejí bodem P a jsou rovnoběžné s přímkou ​​2. Podle tranzitivity jsou vzájemně rovnoběžné, a proto nemohou mít společné bod P. _ Z toho vyplývá, že jsou stejnou přímkou, což je axiom Playfair.“

Poznámky

  1. ↑ Playfair, 1846 , str. 29.
  2. ↑ přesněji v kontextu absolutní geometrie .
  3. ↑ Euklidovy prvky, Kniha I, definice 23 . Získáno 19. srpna 2018. Archivováno z originálu 1. listopadu 2010.
  4. ↑ Heath, 1956 , str. sv. 1, str. 190.
  5. ↑ například Rafael Artzy (1965) Lineární geometrie , strana 202, Addison-Wesley )
  6. ↑ Heath, 1956 , str. sv. 1, str. 220.
  7. ↑ Ludlam, 1785 , str. 145.
  8. ↑ Playfair, 1846 , str. jedenáct.
  9. ↑ Playfair, 1846 , str. 291.
  10. ↑ Frankland, 1910 , str. 31.
  11. ↑ Hilbert, 1923 .
  12. ↑ Eves, 1963 , str. 385-7.
  13. ↑ Phillips, 1826 , str. 3.
  14. ↑ Henderson, Taimiņa, 2005 , str. 139.
  15. ↑ Tento argument jde nad rámec toho, co je potřeba k prokázání výsledku. Existují důkazy paralelismu, které nepoužívají pátou postulátovou ekvivalenci.
  16. ↑ Greenberg, 1974 , str. 107.
  17. ↑ Důkaz lze nalézt v Heath ( Heath 1956 , sv. 1, s. 313)
  18. ↑ De Morgan, 1849 .
  19. ↑ Heath, 1956 , str. sv. 1, str. 314.
  20. ↑ The College Mathematics Journal, 42(5):372

Literatura