První kvadratická forma

První kvadratická forma (nebo první základní forma nebo metrický tenzor ) plochy je kvadratická forma na svazku tečny plochy, která definuje vnitřní geometrii plochy v okolí daného bodu. První kvadratická forma je často označována . $\mathrm {I}$

Znalost prvního kvadratického tvaru je dostatečná pro výpočet Gaussova zakřivení povrchu, stejně jako pro výpočet délek oblouků, úhlů mezi křivkami a ploch ploch na povrchu.

Definice

Nechť povrch v euklidovském prostoru se skalárním součinem je dán rovnicí kde a jsou vnitřní souřadnice na povrchu; je rozdíl vektoru poloměru podél zvoleného směru posunutí z bodu do nekonečně blízkého bodu . (Zde a jsou parciální derivace vektoru poloměru vzhledem k a vzhledem k příslušnému pořadí.) Pak druhá mocnina hlavní části přírůstku délky je vyjádřena druhou mocninou diferenciálu : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $proti$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $u$ $proti$ $|MM'|$ $Dr$