Tangentový svazek hladké manifoldy je vektorový svazek přes , jehož vlákno v bodě je prostor tečny v bodě . Tangentový svazek se obvykle označuje .
Prvkem celkového prostoru je dvojice , kde a . Tangentní svazek má přirozenou topologii (nikoli topologii disjunktivního sjednocení) a hladkou strukturu , díky čemuž se stává různou. Rozměr se rovná dvojnásobku rozměru .
Jestliže je -dimenzionální varieta, pak má atlas map , kde je otevřená podmnožina a
je homeomorfismus .
Tyto lokální souřadnice generují izomorfismus mezi a pro libovolné . Můžete definovat zobrazení
jak
Tato mapování se používají k definování topologie a hladké struktury na .
Podmnožina je otevřená tehdy a jen tehdy, je-li otevřena pro libovolné . Tyto mapy jsou homeomorfismy otevřených podmnožin a , takže tvoří mapy hladké struktury na . Přechodové funkce na průsečících map jsou dány Jacobiho maticemi odpovídajících transformací souřadnic, jde tedy o hladká zobrazení otevřených podmnožin .
Tangentní svazek je speciální případ obecnější konstrukce nazývané vektorový svazek . Tangentový svazek -rozměrné variety lze definovat jako vektorový svazek hodnosti nad , jehož přechodové funkce jsou dány jakobiánem odpovídajících transformací souřadnic.
Bohužel lze nakreslit pouze tečné svazky skutečné čáry a jednotkové kružnice , což je obojí triviální. U 2-manifoldů je tečný svazek 4-manifold, takže je těžké jej znázornit.
Vektorové pole je funkce hladkého vektoru na varietě, jejíž hodnota v každém bodě je vektorová tečna k , tedy hladké zobrazení .
takový , že obraz , označený , leží v tečném prostoru v bodě . V jazyce místně triviálních svazků se takové mapování nazývá sekce . Vektorové pole na je část svazku tečny nad .
Množina všech vektorových polí přes je označena . Vektorová pole lze přidávat bodově:
a násobit hladkými funkcemi zapnuto
získání nových vektorových polí. Množina všech vektorových polí pak získává strukturu modulu nad komutativní algebrou hladkých funkcí na (označeno ).
Pokud existuje hladká funkce, pak operace derivace podél vektorového pole dává novou hladkou funkci . Tento operátor diferenciace má následující vlastnosti:
Vektorové pole na manifoldu lze také definovat jako operátor s výše uvedenými vlastnostmi.
Lokální vektorové pole na je lokálním úsekem tečného svazku. Lokální vektorové pole je definováno pouze na nějaké otevřené podmnožině , a v každém bodě v , je určen vektor z odpovídajícího tečného prostoru. Sada místních vektorových polí na tvoří strukturu nazývanou tužka skutečných vektorových prostorů nad .
Na každém tečném svazku lze definovat kanonické vektorové pole. Pokud jsou lokální souřadnice na , pak vektorové pole má tvar
je displej .
Existenci takového vektorového pole na lze přirovnat k existenci kanonické 1-formy na svazku kotangens .