Parametrická specifikace povrchu

Třída trojrozměrných parametrických povrchů je definována funkcí , která závisí na parametrech a mapuje nějakou spojenou množinu z n-rozměrného prostoru do trojrozměrného prostoru tak , že toto zobrazení je povrch . Tato funkce určuje třídu povrchu a sada parametrů určuje konkrétní povrch z této třídy. ${\displaystyle F(t_{1},\ldots ,t_{k}):\mathbb {M} \to \mathbb {R} ^{3))$ $k$ ${\mathbb {M}}$ $F$ $k$

Nejpraktičtější případ je, když je množinou jednotkový čtverec ve dvourozměrném prostoru. V tomto případě lze parametrickou plochu popsat následovně: ${\mathbb {M}}$

(x,y,z)=F(u,v)

nebo , kde

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array)) \že jo.

{\displaystyle (u,v)\in [0,1]^{2))

Parametrické povrchy jsou široce používány v aplikované geometrii a počítačové grafice k reprezentaci složitých povrchů. Díky parametrizaci jsou tyto povrchy vhodné pro zpracování a zobrazení .

Příklady

Rovina Bod a základ dvou nekolineárních vektorů v trojrozměrném prostoru definuje rovinu a na ni zobrazení dvourozměrného kartézského souřadnicového systému . To určuje -parametrizaci roviny ( a jsou parametry): ${\vec {O}}$ ${\vec {l}}_{1},{\vec {l}}_{2}$ $UV$ $u$ $proti$ $(x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}$

Plochý N-úhelník. Obecně lze parametrizaci v N-úhelníku zavést pomocí barycentrického souřadnicového systému .

Trojúhelník Tento nejdůležitější speciální případ N-úhelníku si zaslouží zvláštní pozornost. Nejběžnějším způsobem parametrizace trojúhelníku je lineární mapování trojúhelníku z -space na něj. $UV$

Koule Pro parametrizaci koule je nejvhodnější použít stejnojmenný souřadnicový systém :
$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\ rho \sin \varphi \end{array}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2}}\right ],\;\theta \in [0,2\pi )$ .

Boční plocha nekonečného kruhového válce . Je zcela přirozené používat cylindrický souřadnicový systém : $\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right. ,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )$ .

Bilineární interpolační čtyřúhelník . Uspořádaná sada 4 bodů v prostoru definuje bilineární interpolační plochu a mapuje na ni čtverec : ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{4))$ $u,v\in [0,1]$

(x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v )

Tato plocha je hladká , ale nemožnost nastavit libovolné tečny na její hranici ji činí jako záplaty prakticky nepoužitelnou.

Bezierův povrch . V praxi se používají především dva typy Bézierových ploch: bikubický 3. řád - čtyřúhelník definovaný 16 body a barycentrický 3. řád - trojúhelník definovaný 10 body. Barycentrický souřadnicový systém v trojúhelníku obsahuje 3 čísla, takže to není vždy vhodné.

Hranice Bézierovy plochy je tvořena Bézierovými křivkami . Body, které definují povrch, také definují křivky jeho hranic, včetně normál na nich. To vám umožní vytvářet hladké složené povrchy , tj. používat Bézierovy povrchy jako záplaty . Racionální Bézierova plocha se liší tím, že každému bodu v jeho definici je přiřazena určitá „váha“, která určuje míru jeho vlivu na tvar povrchu.

B-spline plocha . V praxi se běžně používají bikubické B-spline plochy . Stejně jako Bézierovy plochy jsou definovány 16 body, obecně však těmito body neprocházejí. B-splines je však vhodné použít jako záplaty, protože do sebe dobře zapadají při použití společné vertexové mřížky a samotné vertexy umožňují explicitně nastavit normály a tečny na hranicích políček.

Pokud je požadována flexibilnější kontrola tvaru povrchu, používají se racionální B-splines , nehomogenní B-splines i kombinovaná verze - nehomogenní racionální B-splines (NURBS).

Vlastnosti

Nechte _ Pak: ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u} &Y'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v))))={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y' _{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v))))={\ begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}$

Normála v bodě na povrchu je dána vztahem:

{\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v))));\,{\frac {D(z,x)}{D(u, v ))));\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)} {D (u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left ({ \frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}

Tečná rovina v daném bodě může být popsána rovnicí:

{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D( z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u ,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0

Plocha parametricky definovaného povrchu se vypočítá podle vzorců:

\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D (y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^ {2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v

nebo

\iint \,\left|[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\ ;\mathrm {d} \,v

, kde

{\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u)),\,{\frac {\partial y}{\partial u)), \,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\tečka {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v} },\,{\frac {\částečné y}{\částečné v)),\,{\frac {\částečné z}{\částečné v))\right)

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometrie. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - M .: Drop. — 570 str.
Rogers D., Adams J. Matematické základy počítačové grafiky. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .