Povrch Enneper

Enneperova plocha je určitý typ samoprotínající se minimální plochy .

Zvažoval Alfred Enneper v roce 1864.

Rovnice

Enneperovu plochu lze parametricky popsat jako $x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,$ $y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,$ $z=(u^{2}-v^{2})/3.$

Parametrizace Weierstrass-Enneper je dána a . $f(z)=1$ $g(z)=z$

Je množina nul polynomu stupně 9:

64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144 (y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})+

{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^ {4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})-

{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y ^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z ^{3})=0.

Vlastnosti

Tečná rovina v bodě s danými parametry ve tvaru : $(u,v)$ $a+bx+cy+dz=0$ $a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),$ $b=6u,$ $c=6v,$ $d=-3(1-u^{2}-v^{2}).$
- Koeficienty splňují rovnici 6. stupně $162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+ 54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})+$ ${}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d ^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.$
Jakobiánské , Gaussovo zakřivení a střední zakřivení : $J$ $K$ $H$

J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,

K=-(4/9)/J,

H=0.

Celkové zakřivení je . $-4\pi$
- Kompletní minimální povrch s plným zakřivením je buď katenoid nebo povrch Enneper. $\mathbb {R} ^{3}$ $-4\pi$

Variace a zobecnění

Umožňuje zobecnění s rotačními symetriemi vyšších řádů pomocí Weierstrass-Enneperovy parametrizace pro celé číslo . ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k))$ $k>1$

Externí odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Enneper surface , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Enneperův povrch
The Generalized Enneper's Surfaces // The Scientific Graphics Project