Minimální povrch

Minimální povrch je hladký povrch s nulovým středním zakřivením . Název je vysvětlen tím, že hladký povrch s daným obrysem, minimalizující plochu, je minimální.

Příklady

Vlastnosti

Asymptotické čáry na minimální ploše tvoří izotermickou síť .
Obecně platí, že minimální plocha s okrajem nemusí mít minimální plochu mezi všemi plochami s daným obrysem. Ale jakýkoli bod minimálního povrchu je obsažen v disku, čímž se minimalizuje plocha daná obrysem.
- Navíc, pokud je kompaktní minimální plocha grafem hladké funkce definované na konvexní doméně v -rovině, pak minimalizuje plochu mezi všemi plochami s danou hranicí. [jeden] $z=f(x,y)$ $(x,y)$
Vzorec monotonie

Historie

První výzkumy minimálních povrchů se datují k Lagrangeovi ( 1768 ), který uvažoval o následujícím variačním problému : najděte povrch nejmenší oblasti překlenuté daným obrysem. Za předpokladu požadovaného povrchu ve tvaru , Lagrange určil, že tato funkce musí splňovat Euler-Lagrangeovu rovnici . $z=f(x,y)$

Monge ( 1776 ) později objevil, že podmínka pro minimální plochu povrchu znamená, že její střední zakřivení je nulové. Proto byl povrchům s přiřazen název „minimální“. Ve skutečnosti je však nutné rozlišovat mezi pojmy minimální plocha a plocha nejmenší plochy, neboť podmínka je pouze nutnou podmínkou minimální plochy, která vyplývá z rovnosti k nule 1. variace rozlohy. povrchová plocha mezi všemi povrchy s danou hranicí. $H=0$ $H=0$

Poznámky

↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. kalibrované geometrie. ActaMath. 148 (1982), 47–157.

Odkazy

Evgeny Stepanov Video přednášky: minimální povrchy (rus.)