Sherk povrch

Povrch Scherk (pojmenovaný po Heinrichu Scherkovi) je příkladem minimálního povrchu . Sherk popsal dva kompletní vnořené minimální povrchy v roce 1834 [1] . Jeho první povrch je dvakrát periodický povrch a jeho druhý povrch je jednoduše periodický. Byly třetím netriviálním příkladem minimálních povrchů (první dva jsou katenoid a šroubovice ) [2] . Tyto dva povrchy jsou navzájem spojeny.

Scherkovy povrchy vznikají při studiu určitých problémů minimálního povrchu a při studiu harmonických difeomorfismů hyperbolického prostoru .

Sherkův první povrch

První Scherkova plocha směřuje asymptoticky ke dvěma nekonečným rodinám rovnoběžných rovin navzájem kolmých. Plochy tvoří v blízkosti z = 0 oblouky mostů v šachovnicovém vzoru. Povrch obsahuje nekonečné množství rovných svislých čar.

Konstrukce jednoduchého povrchu Sherk

Uvažujme následující minimální plochu na čtverci v euklidovské rovině: pro přirozené číslo n najděte minimální plochu jako graf nějaké funkce $\Sigma _{n}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}

tak

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

pro

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

pro

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

To znamená, že u n splňuje rovnici minimálního povrchu

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\vpravo)\ekviv 0

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

Co se stane s povrchem, když n směřuje k nekonečnu? Odpověď dal H. Sherk v roce 1834: omezující plochou je graf funkce $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{ 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

To znamená, že povrch Scherk nad náměstím je

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right)\right)\ v \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Obecnější Scherkovy povrchy

Podobné problémy můžeme uvažovat s minimálními plochami na jiných čtyřúhelnících v euklidovské rovině. Jeden může také zvážit stejný problém na čtyřúhelnících na hyperbolické rovině . V roce 2006 Harold Rosenberg a Pascal Collin použili Scherkovy hyperbolické povrchy ke konstrukci harmonického difeomorfismu z komplexní roviny do hyperbolické roviny (jednotkový disk s hyperbolickou metrikou), čímž vyvrátili Schön-Yauovu domněnku .

Sherkův druhý povrch

Druhý povrch Scherka globálně vypadá jako dvě ortogonální roviny, jejichž průsečík se skládá ze sledu tunelů ve střídavých směrech. Jejich průsečík s vodorovnými rovinami se skládá ze střídajících se hyperbol.

Povrch je dán rovnicí:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

Povrch má Weierstrass-Enneperovu parametrizaci a lze jej parametrizovat jako [3] : ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4))))$ $g(z)=iz$

x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

pro a . To dává jednu periodu povrchu, která může být prodloužena ve směru z symetrií. $\theta \in [0,2\pi )$ $r\in(0,1)$

Povrch zobecnil H. Karcher do rodiny pylonových sedel periodických minimálních povrchů.

V literatuře je tento povrch mylně nazýván pátý Sherkův povrch [4] [5] . Aby nedošlo k záměně, je užitečné označovat povrch jako povrch Sherk z jednoho období nebo jako Sherk tower.

Poznámky

↑ Scherk, 1835 , str. 185–208.
↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biografie - MacTutor Dějiny matematiky . Získáno 16. července 2020. Archivováno z originálu dne 3. listopadu 2019. (neurčitý)
↑ Weisstein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , str. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Literatura

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Konstrukce minimálních povrchů lepením minimálních ponorů // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Kalifornie, 25. června – 27. července – 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. Limity minimálních ploch a Scherkova pátá plocha // Archiv pro racionální mechaniku a analýzu. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. Stručná encyklopedie matematiky CRC // 2. vyd. - CRC press, 2002.

Odkazy

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Scherkův první povrch v geometrii MSRI [1]
Scherkův druhý povrch v geometrii MSRI [2]
Scherkovy minimální povrchy v Mathworldu [3] Archivováno 21. února 2020 na Wayback Machine

Minimální plochy
Přidružená rodina Bura katalánská katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noidní Richmond Riemann Pylonové sedlo Sherka Třikrát periodicky Gyroid Lidinoidní Neovius Schwartz