Uniformizační teorém

Uniformizační teorém je zobecněním Riemannovy věty o mapování na dvourozměrné Riemannovy variety . Můžeme říci, že věta dává nejlepší metriku v dané konformní třídě.

Formulace

Nějaký jednoduše spojený Riemann povrch je conformally ekvivalentní k Riemann kouli komplexního letadla nebo disku otevřené jednotky . ${\widehat {\mathbb {C} }}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C} :|z|<1\,\))$

Důsledky

Jakákoli Riemannova metrika na připojeném dvourozměrném manifoldu je konformně ekvivalentní kompletní metrice s konstantním zakřivením.
- Je-li rozdělovač uzavřen, lze znaménko zakřivení zjistit z jeho Eulerovy charakteristiky .
  - Je-li Eulerova charakteristika kladná, potom je rozdělovač konformně ekvivalentní kouli nebo projektivní rovině s kanonickou metrikou.
  - Pokud je Eulerova charakteristika nulová, pak je rozdělovač konformně ekvivalentní plochému torusu nebo ploché Kleinově láhvi . Navíc torus a Kleinova láhev mají 2-parametrovou rodinu plochých metrik, které nejsou navzájem konformně ekvivalentní.
  - Je-li Eulerova charakteristika záporná, potom je manifold konformně ekvivalentní hyperbolické ploše.

Variace a zobecnění

Na geometrizační teorém lze pohlížet jako na zobecnění uniformizačního teorému na 3-variet.

Literatura

Abikoff, Williame. Uniformizační teorém // Amer . Matematika. Měsíční . - 1981. - Sv. 88 , č. 8 . — S. 574–592 .