Metrický tenzor

Metrický tenzor , neboli metrický , je symetrické tenzorové pole hodnosti (0,2) na hladké varietě , pomocí kterého je specifikován skalární součin vektorů v prostoru tečny . Jinými slovy, metrický tenzor definuje bilineární tvar na tečném prostoru k tomuto bodu, který má vlastnosti vnitřního součinu a plynule závisí na bodu.

Metrický tenzor umožňuje definovat délky křivek, úhly mezi křivkami, objem a další koncepty vlastní euklidovskému prostoru. Ve speciálním případě plošné metriky se také nazývá první kvadratická forma .

V obecné teorii relativity je metrika považována za základní fyzikální pole (gravitační) na čtyřrozměrné rozmanitosti fyzického časoprostoru. Je široce používán v jiných konstrukcích teoretické fyziky, zejména v bimetrických teoriích gravitace na časoprostoru se uvažují dvě metriky najednou.

Dále, ve vzorcích tohoto článku s opakovanými indexy je sumace podle Einsteinova pravidla implikována všude , tedy nad každým opakovaným indexem.

Metody hledání

Reprezentace souřadnic

Metrický tenzor v místních souřadnicích je obvykle specifikován jako kovariantní tenzorové pole . Jeho prostřednictvím se určují skalární součiny souřadnicových vektorových polí : $x^{1},x^{2},\tečky ,x^{n}$ $g_{ij}\$ $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i))}$

\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{{ij}}.

A pro jakákoli vektorová pole se skalární součin vypočítá podle vzorce

\left\langle v,w\right\rangle =g_{{ij}}v^{i}w^{j}

kde je zastoupení vektorových polí v lokálních souřadnicích. $v=v^{i}\částečné _{i}\ ,w=w^{i}\částečné _{i}$

Poznámky

Někdy je metrický tenzor specifikován dvojím způsobem, pomocí kontravariančního tenzoru . $g^{ij}$

V případě nedegenerovaných metrik

g^{{ij}}g_{{jk}}=\delta _{k}^{i},

kde je symbol Kronecker . V tomto případě jsou obě metody ekvivalentní a obě reprezentace metriky jsou užitečné. $\delta _{k}^{i}$

Pro degenerované metriky je někdy vhodnější použít pouze kontravariantní metriku. Například sub-Riemannovu metriku lze definovat pomocí tenzoru , ale tenzor pro ni není definován. $g^{ij}$ $g_{ij}$

Zastoupení v oblasti benchmarků

Někdy je vhodné specifikovat metrický tenzor prostřednictvím vybraného (ne nutně souřadnicového, jak je popsáno výše) pole snímků , tedy výběrem referenčního pole a matice . $\{e_{i}(p)\}$ $g_{{ik}}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle$

Například Riemannův metrický tenzor může být dán ortonormálním rámovým polem [1] .

Indukovaná metrika

Metriku, která je vyvolána hladkým vnořením variety do euklidovského prostoru , lze vypočítat podle vzorce: $r$ $M$ $E$

g=J_{r}^{T}J_{r},

kde označuje Jacobiho matici vložení a je do ní transponována . Jinými slovy, skalární součiny základních souřadnicových vektorů tečného prostoru , které lze v tomto případě identifikovat s , jsou definovány jako $J_{r}$ $r$ $J_{r}^{T}$ ${\frac {\částečné }{\částečné x_{i))}$ ${\frac {\částečné r}{\částečné x_{i))}$

g_{{ij))=g\left({\frac \partial {\partial x_{i))}, {\frac \partial {\partial x_{j))}\right)=\left\langle {\ frac {\partial r}{\partial x_{i))},{\frac {\partial r}{\partial x_{j))}\right\rangle ,

kde označuje tečkový součin v . $\langle *,*\rangle$ $E$

Obecněji

Nechte rozdělovač s metrickým a hladkým zapuštěním. Potom metrika na , definovaná pomocí rovnosti $(N,h)$ $r:M\to N$ $G$ $M$

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))

se nazývá indukovaná metrika . Zde označuje rozdíl zobrazení . $Dr$ $r$

Typy metrických tenzorů

Sada metrických tenzorů je rozdělena do dvou tříd: $G$

nedegenerované nebo pseudo-riemannovské metriky ve všech bodech manifoldu. Mezi nedegenerované metrické tenzory zase patří: $\ \det(g_{{ij}})\neq 0$
- Riemannovský metrický tenzor (nebo Riemannův metrický ) pro který je kvadratický tvar pozitivně určitý. Varieta s význačným Riemannovým metrickým tenzorem se nazývá Riemannovská varieta , mají přirozenou strukturu metrického prostoru .
- Ve skutečnosti pseudo-riemannovský metrický tenzor (nebo neurčitá metrika ), když forma není v určitém znaménku. Varieta s výrazným pseudo-riemannovským metrickým tenzorem se nazývá (správně) pseudo-riemannovským .
  - Lorentzova metrika patří do této třídy .
V některých bodech zdegenerované metriky . $\ \det(g_{{ij}})=0$ $\ \det(g^{{ij}})=0$
- Rozmanitost , jejíž metrika je v nějakém bodě degenerovaná, se nazývá izotropní (jako je světelný kužel v Minkowského prostoru ). $M^{n}$
- Sub-riemannovské metriky .

Metrický tenzor je v matematice obvykle chápán bez zvláštního označení jako Riemannův metrický tenzor; ale pokud s ohledem na nedegenerovaný metrický tenzor chtějí zdůraznit, že mluvíme o Riemannově, a ne o pseudoriemannovském metrickém tenzoru, pak o něm mluví jako o správném Riemannově metrickém tenzoru . Ve fyzice je metrický tenzor obvykle chápán jako Lorentzova časoprostorová metrika.

Někdy se pseudoriemannovským tenzorem a pseudoriemannovskou varietou rozumí to, co je definováno výše jako správná pseudoriemannovská metrika a varieta, zatímco pro prvně jmenovaný pouze termín „nedegenerovaná metrika“ a v souladu s tím „manifold s ne -degenerate metric" je zachována.

Související definice

Vektor nulové délky v prostoru s pseudo-Riemannovou metrikou se nazývá izotropní (také nulový nebo podobný světlu) a specifikuje určitý izotropní směr na manifoldu; například světlo v časoprostorovém kontinuu se pohybuje podél izotropních směrů.
Varianta s význačným Riemannovým metrickým tenzorem se nazývá Riemannovská varieta .
Varieta s význačným pseudo-Riemannovým metrickým tenzorem se nazývá pseudo-Riemannovská varieta .
Metriky na manifoldu jsou považovány za geodeticky ekvivalentní , pokud jsou jejich geodetiky (považované za neparametrizované křivky) stejné.

Vlastnosti

Riemannův metrický tenzor lze zavést na jakékoli parakompaktní hladké potrubí.
Riemannův metrický tenzor indukuje na různý přirozenou strukturu metrického prostoru
Neurčitá metrika nevytváří metrický prostor. Na jeho základě však lze, alespoň v některých případech, speciálním způsobem konstruovat topologii (viz Aleksandrovova topologie ), která se obecně řečeno neshoduje s přirozenou topologií manifoldu.

Metrika a objem

Determinant metrické tenzorové matice udává druhou mocninu objemu rovnoběžnostěnu překlenutého základními vektory. (V ortonormálních základech je to jednota). $|\det\{g_{{ij}}\}|$

Proto množství hraje důležitou roli při výpočtu objemů, stejně jako při integraci přes objem. Zejména je zahrnuto v obecném vyjádření tenzoru Levi-Civita , používaného k výpočtu smíšeného součinu , křížového součinu a jejich vícerozměrných protějšků. ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$ ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$

Integrace přes objem zahrnuje tento faktor, například, pokud je to nutné, integrujte nějaké skaláry v souřadnicích (aby byl výsledek invariantní):

S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}\,dx^{1}\,dx ^{2}\,\ldots \,dx^{n},

kde je prvek -rozměrného objemu a jsou souřadnicové diferenciály . $d\Omega$ $n$ $dx^{i}$

U dílčích variet je objem (plocha) definován jako objem (plocha) s ohledem na indukovanou metriku.

Příklady

Metrický tenzor v euklidovské rovině:
- V pravoúhlých jednotkových měřítkách kartézských souřadnic je metrický tenzor konstantní (nezávisí na souřadnicích) a je reprezentován maticí identity (její složky se rovnají Kroneckerově symbolu ) $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- V pravoúhlých kartézských souřadnicích nejednotkového měřítka je metrický tenzor reprezentován konstantní (na souřadnicích nezávislou) diagonální maticí, jejíž nenulové složky jsou určeny měřítkem podél každé osy (obecně nejsou stejné).
- V šikmých kartézských souřadnicích je metrický tenzor konstantní (nezávisí na souřadnicích) a kladně definitní, ale jinak je obecně řečeno reprezentován libovolnou symetrickou maticí.
- V polárních souřadnicích : $(r,\theta)$ $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$
Metrický tenzor na kouli. (Dvourozměrná) koule o poloměru vložená do trojrozměrného prostoru má přirozenou metriku indukovanou euklidovskou metrikou okolního prostoru. Ve standardních sférických souřadnicích má metrika tvar: $R$ $(\theta,\varphi)$ $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Metrický tenzor pro trojrozměrný euklidovský prostor:
- V pravoúhlých jednotkových měřítkách kartézských souřadnic je metrický tenzor konstantní (nezávisí na souřadnicích) a je reprezentován maticí identity (její složky se rovnají Kroneckerově symbolu ) $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- V pravoúhlých kartézských souřadnicích nejednotkového měřítka je metrický tenzor reprezentován konstantní (na souřadnicích nezávislou) diagonální maticí, jejíž nenulové složky jsou určeny měřítkem podél každé osy (obecně nejsou stejné).
- V šikmých kartézských souřadnicích je metrický tenzor konstantní (nezávisí na souřadnicích) a kladně definitní, ale jinak je obecně řečeno reprezentován libovolnou symetrickou maticí.
- Ve sférických souřadnicích :: $(r,\theta,\phi)$ $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Lorentzova metrika ( Minkowski metric ).
Schwarzschildova metrika

Izomorfismus mezi tečnými a kotangentními prostory

Metrický tenzor zavádí izomorfismus mezi tečným prostorem a kotangentním prostorem : nechť je vektor z tečného prostoru, pak pro metrický tenzor na , dostaneme , že zobrazení, které vezme jiný vektor k číslu , je prvek duálního prostoru lineárních funkcionálů (1-formy) . Nedegenerace metrického tenzoru (pokud nebo kde je) činí toto zobrazení bijekcí a skutečnost, že je samo o sobě tenzorem, činí toto zobrazení nezávislým na souřadnicích. $v\in T_{p}M$ $G$ $M$ $g(v,\cdot)$ $w\in T_{p}M$ $g(v,w)$ $T_{p}^{*}M$ $G$

U tensorfields to umožňuje "zvyšovat a snižovat indexy" libovolného tensorfield (slangový název je "index žonglování"). V komponentách operace zvyšování-snižování indexu vypadá takto:

\ g_{{ij}}v^{j}=v_{i}

— snížení indexu pro vektor,

\ g^{{ij}}v_{j}=v^{i}

- zvýšení indexu pro vektor,

\ g^{{ij}}g_{{mn}}T_{{j\ \ \ pq}}^({\ nrs}}=T_({\ m\ \ pq}}^{{i\ \ rs} }

je příkladem současného zvyšování indexu a snižování indexu pro velký tenzor valence.

j

n

(Tato operace se samozřejmě nevztahuje na skaláry).

Pro objekty podobné tenzorům (které nejsou tenzory), jako jsou Christoffelovy symboly , je transformace kontravariančních složek na kovariantní a zpět definována zpravidla stejně jako pro tenzorové. V případě potřeby lze žonglování použít i na Jacobiho matice , pouze v tomto případě je nutné zajistit, aby se metrika pro zvýšení a snížení prvního indexu samozřejmě obecně lišila od metriky pro stejnou operaci s druhým indexem. jeden.

Viz také

Poznámky

↑
Viz např.
- Cartan E. Zh. Riemannovská geometrie v ortogonálním rámu. - M .: nakladatelství Moskevské státní univerzity, [1926-1927] 1960
- Kartan E. Zh. Teorie konečných spojitých grup a diferenciální geometrie vyjádřená metodou pohyblivého rámu. - M .: nakladatelství Moskevské státní univerzity, [1930] 1963