Christoffelovy symboly

Christoffelovy symboly (nebo Christoffeli ) jsou koeficienty souřadnicového vyjádření afinního spojení , zejména spojení Levi-Civita . Pojmenováno po Elvinu Brunu Christoffelovi . Používá se v diferenciální geometrii , obecné teorii relativity a souvisejících teoriích gravitace . Objevte se v souřadnicovém vyjádření tenzoru křivosti . Přitom samotné symboly nejsou tenzory.

Obvykle se označuje ; někdy se v návaznosti na Christoffelovu původní notaci používá symbol [1] ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k))$ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Níže je použito Einsteinovo sčítací pravidlo , tj. nad opakovanými horními a dolními indexy je implikována sumace.

Historie

Symboly se poprvé objevily v Christoffelově článku „O transformaci homogenních diferenciálních výrazů druhého stupně“ ( německy: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades – J. fur Math., č. 70, 1869). Autor v ní uvažoval o podmínkách koincidence Riemannovy geometrie , definované dvěma různými metrickými formami. Nezávisle na Christoffelovi podobný problém řešil Rudolf Lipschitz , jehož článek vyšel o rok později [1] .

Elementární koncept Christoffelových symbolů

Úvod

Vizuální znázornění Christoffelových symbolů lze získat pomocí příkladu polárního souřadnicového systému . V tomto systému jsou souřadnicemi bodu vzdálenost od něj k pólu a směrový úhel od polární osy. ${r}$ $\varphi$

Souřadnice vektoru , stejně jako v pravoúhlém souřadnicovém systému , by měly být považovány za diferenciály (nekonečně malé přírůstky) těchto veličin: . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Nechť existuje vektor se složkami , kde má geometrický význam průmět vektoru na radiální paprsek (procházející počátkem vektoru) a je úhel, pod kterým je vektor viděn z pólu. V pravoúhlém souřadnicovém systému se složky vektoru během paralelního posunu nemění. Toto není případ polárního souřadnicového systému ( viz obrázky 1 a 2 ). $\tučný symbol A$ $(a,\,\alpha)$ $A$ $\tučný symbol A$ $\alpha$

Christoffelovy symboly pouze vyjadřují změnu složek vektoru při jeho paralelním přenosu.

Paralelní posun podél souřadnic

Když se vektor posune podél radiálního paprsku o vzdálenost , jeho složka se samozřejmě nemění, ale jeho druhá souřadnice ( ) se zmenšuje ( obr. 1 ). Hodnota vektoru zůstává nezměněna, proto . Odtud se ukazuje (zanedbání hodnot druhého a vyšších řádů malosti ): ${\rm d}r$ $A$ $\alpha$ $|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Paralelní posun podél oblouku mění obě souřadnice a ( obr. 2 ). Je zřejmé, , , a proto: $A$ $\alpha$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Navíc od , , a , pak $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alpha$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Paralelní překlad v libovolném směru

Pro libovolné malé posunutí vektoru (když se oba a a změní) je třeba přidat změny v komponentách : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

Výsledné výrazy mají společnou strukturu: změna složek vektoru je úměrná všem složkám vektoru a úměrná velikosti vektorového posunu. Koeficienty proporcionality (bez společného mínusu) se nazývají Christoffelovy symboly .

V obecnějším zápisu lze zapsat , , a (mějte na paměti součet nad opakovanými indexy ): $x^1=r$ $x^2=\varphi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alpha$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Zde jsou Christoffelovy symboly , , a všechny ostatní rovny nule. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

V pravoúhlém souřadnicovém systému jsou všechny Christoffelovy symboly rovny nule, protože složky vektoru se během paralelního posunu nemění. Z toho lze usoudit, že Christoffelovy symboly netvoří tenzor : pokud je tenzor nulový v jakémkoli souřadnicovém systému, pak je nulový ve všech ostatních souřadnicových systémech.

Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu

Christoffelovy symboly druhého druhu lze definovat jako koeficienty expanze kovariantní derivace souřadnicových vektorů vzhledem k bázi: $\Gamma^{k}_{ij}$ $\partial_i=\frac{\částečné }{\částečné x^i}$

\nabla _{\částečné _{j}}\částečné _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\částečné _{k}.

Christoffelovy symboly prvního druhu : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in} }{\částečné x^{j))}+{\frac {\částečné g_{jn)){\částečné x^{i))}-{\frac {\částečné g_{ij)){\částečné x^ {n}}}\vpravo).

Vyjádření z hlediska metrického tenzoru

Christoffelovy symboly spojení Levi-Civita pro mapu lze určit z absence torze, tj. $x^i$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

a podmínka, že kovariantní derivace metrického tenzoru je rovna nule: $g_{{ik}}$

0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\částečné g_{ik)){\částečné x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

Pro zkrácení zápisu se často vynechává symbol nabla a parciální odvozeniny , místo nich se před index, kterým se rozlišuje, umístí středník ";". v případě kovariance a čárky "," v případě částečné derivace. Takže výraz výše může být také zapsán jako $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell }.

Explicitní výrazy pro Christoffelovy symboly druhého druhu se získají přidáním této rovnice a dalších dvou rovnic, které se získají cyklickou permutací indexů:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell ))}+{\frac {\částečné g_{m\ell }}{\částečné x^{k}}}-{\frac {\částečné g_{k\ell }}{\částečné x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

kde je kontravariantní reprezentace metriky, což je matice inverzní k , se nalézá řešením systému lineárních rovnic . $g^{ij}$ $g_{ij}$ ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i))$

Invariantní zápis

Invariantní zápis pro konektivitu je abstrahován od specifického souřadnicového systému a je proto vhodnější při dokazování matematických vět.

Nechť X a Y jsou vektorová pole se složkami a . Potom je k -tá složka kovariantní derivace pole Y vzhledem k X dána vztahem $X^{i}$ ${\displaystyle Y^{k))$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \částečné Y^{k}}{\částečné x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).

Stav bez kroucení pro připojení :

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

je ekvivalentní symetrii Christoffelových symbolů ve dvou indexech:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Změna souřadnic

I když jsou Christoffelovy symboly zapsány ve stejném zápisu jako složky tenzorů , nejsou to tenzory , protože se při přechodu do nového souřadnicového systému netransformují jako tenzory. Zejména výběrem souřadnic v sousedství jakéhokoli bodu mohou být Christoffelovy symboly lokálně rovny nule (nebo zpětně nenulové), což je pro tenzor nemožné.

Když jsou proměnné nahrazeny základními vektory, transformují se kovariančně: $(x^{1},\tečky ,x^{n})\$ $(y^{1},\tečky ,y^{n})$

{\frac {\partial }{\partial y^{i))}={\frac {\partial x^{k)){\partial y^{i))}{\frac {\partial } {\částečné x^{k))},

odkud vzorec pro transformaci Christoffelova symbolu následuje:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\ frac {\částečné x^{q}}{\částečné y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\částečné y^{k}}{\ částečné x^{r))}+{\frac {\částečné y^{k)){\částečné x^{r))}\,{\frac {\částečné ^{2}x^{r)){ \částečné y^{i}\částečné y^{j}}}.

Pomlčka znamená souřadnicový systém y . Symboly Christoffel se tedy netransformují jako tenzor. Představují složitější geometrický objekt v tečném prostoru s nelineárním zákonem transformace z jednoho souřadnicového systému do druhého.

Poznámka . Z definice je například vidět, že první index je tenzorický, to znamená, že Christoffelovy symboly jsou podle něj transformovány jako tenzor.

Christoffelovy symboly v různých souřadnicových systémech

Pomocí vyjádření symbolu pomocí metrického tenzoru nebo transformací souřadnic můžete získat jejich hodnoty v libovolném souřadnicovém systému. V mechanice a fyzice se nejčastěji používají ortogonální křivočaré souřadnicové systémy . V tomto případě jsou Christoffelovy symboly se stejnými koeficienty vyjádřeny pomocí Lamého koeficientů (diagonální prvky metrického tenzoru) a všechny ostatní jsou nulové. $H_\beta$

Christoffelovy symboly prvního druhu jsou vyjádřeny takto:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\částečné H_{\beta )){\částečné x^{\gamma ))}.

Christoffelovy symboly druhého druhu:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\částečné H_{\ beta }}{\částečné x^{\gamma }}}

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\částečné H_{\beta }}{\částečné x^{\gamma }}}.

Hodnoty pro běžné souřadnicové systémy:

V kartézském souřadnicovém systému : je tedy kovariantní derivace stejná jako parciální derivace. $\{x,y,z\}$ $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$
Ve válcovém souřadném systému : , . Zbytek je nula. ${\displaystyle \{r,\phi ,z\))$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
Ve sférickém souřadnicovém systému : , , , , . Zbytek je nula. ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \))$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\název operátora {ctg} \theta$

Variace a zobecnění

Rozdíl dvou afinních spojení

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilda {\nabla }}_{X}Y

je tenzor. Pokud je v mapě definováno jako spojení, ve kterém jsou tenzorová pole s konstantními složkami paralelní, jsou Christoffels komponenty výsledného tenzoru . V tomto případě nepřítomnost torze u obou spojení implikuje symetrii tenzoru ${\tilde {\nabla ))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Gamma$

\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X

Můžete si vybrat jinou základní konektivitu . Například deklarováním libovolného pole ortonormálních snímků paralelně; takto se to dělá v metodě pohyblivého rámu . Protože v tomto případě může mít spojení nenulovou torzi , pak obecně . Protože jsou však obě spojení riemannovská, platí další stejně užitečný vztah: ${\tilde {\nabla ))$ ${\tilde {\nabla ))$ $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

Jinými slovy, je to 1-forma na manifoldu s hodnotami v antisymetrických operátorech na tečném prostoru. $\Gamma$ $\Gamma _{X}$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Matematika 19. století. Svazek II: Geometrie. Teorie analytických funkcí / Ed. Kolmogorová A. N. , Juškevič A. P. - M. : Nauka, 1981. - S. 89. - 270 s.

Literatura

Dimitrienko Yu I. Tenzorový počet. - M . : Vyšší škola, 2001. - 575 s. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Přednášky o tenzorové analýze. - M . : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1974. - 206 s.

Chernavsky A. V. Diferenciální geometrie, 2 kurzy .