Afinní spojení

Afinní spojení je lineární spojení na tečném svazku rozdělovače . Souřadnicovým vyjádřením afinního spojení jsou Christoffelovy symboly .

Na hladkém potrubí má každý bod svůj vlastní tečný prostor . Afinní spojení umožňuje, aby tečné prostory podél stejné křivky byly považovány za patřící do stejného prostoru, tato identifikace se nazývá paralelní translace . Díky tomu lze například definovat operace diferenciace vektorových polí .

Afinní spojení a tenzorový počet

V trojrozměrném euklidovském prostoru je definována operace diferenciace vektorových polí. Když je derivace vektorového pole na varietě definována takovým vzorcem, získaná veličina není vektorové (tensorové) pole. To znamená, že při změně souřadnic se netransformuje podle tenzorového zákona. Aby výsledkem diferenciace byl tenzor, zavádějí se další korekční členy. Tyto termíny jsou známé jako Christoffelovy symboly .

Definice

Nechť M je hladká varieta a označme prostor vektorových polí na M . Potom afinní spojení na M je bilineární zobrazení $C^\infty(M,TM)$

\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \ nabla_X Y, \end{matrix}

tak, že pro libovolnou hladkou funkci f ∈ C ∞ ( M , R ) a libovolná vektorová pole X , Y na M :

$\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$ , tedy lineární v prvním argumentu; $\nabla$
$\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$ , to znamená, že splňuje Leibnizovo pravidlo s ohledem na druhou proměnnou. $\nabla$

Související definice

Výrazem je torze afinního spojení $\nabla$

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],

kde označuje Lieovu závorku vektorových polí.

[{*},{*}]

Afinní spojení s nulovou torzí na Riemannově varietě, se kterou je metrický tenzor kovariantně konstantní , se nazývá Levi-Civita spojení . $(\nabla g=0)$
Zakřivení afinního spojení(nebo Riemannovo zakřivení) je tenzor $\nabla$ $R^{\nabla }(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.$
Afinní spojení s nulovým zakřivením se nazývá euklidovské .

Literatura

Původní práce

Christoffel, Elwin Bruno (1869), Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, J. Für die Reine und Angew. Matematika. T. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana , Rend. Circ. Rohož. Palermo T. 42: 173–205 , DOI 10.1007/bf03014898
Cartan, Élie (1923), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité genéralisée (première party) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 40: 325–412.num http :// .org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 > Archivováno 11. dubna 2014 na Wayback Machine
Cartan, Élie (1924), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première party) (Suite) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 41: 1–25 , < http:// 25 www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 > Archivováno 11. dubna 2014 na Wayback Machine

V této práci je přístup ke studiu afinní souvislosti motivován studiem teorie relativity. Zahrnuje podrobnou diskusi o referenčních rámcích a o tom, jak konektivita odráží fyzickou představu o pohybu podél světové linie .

Cartan, Élie (1926), Espaces à connexion affine, projective et conforme , Acta Math. T. 48: 1–42 , DOI 10.1007/BF02629755

V této práci je použit více matematický přístup ke studiu afinního spojení.

Cartan, Élie (1951), s dodatky Robert Hermann, ed., Geometrie Riemannovských prostorů (překlad Jamese Glazebrooka z Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2. vyd.), Math Sci Press, Massachusetts, 1983, ISBN 978 -0-915692-34-7 , < https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 > .

Afinní spojení je uvažováno z hlediska Riemannovy geometrie . Dodatek napsaný Robertem Hermanem archivovaný 13. června 2015 na Wayback Machine pojednává o motivaci z pohledu teorie povrchu, stejně jako o pojmu afinního spojení v moderním smyslu a základních vlastnostech kovariantní derivace .

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 vydání do roku 1922, s poznámkami Jürgena Ehlerse (1980), přeložené 4. vydání Prostor, čas, hmota od Henryho Brose, 1922 (Methuen, přetištěno 1952 nakladatelstvím Dover) ed. ), Springer, Berlín, ISBN 0-486-60267-2

Moderní literatura

Rashevsky PK Riemann geometrie a tenzorová analýza. - Jakékoli vydání.
Kobayashi Sh ., Nomizu K. Základy diferenciální geometrie. - Novokuzněck: Novokuzněcký institut fyziky a matematiky. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1979.
Postnikov M. M. Smooth manifolds (Přednášky o geometrii. Semestr III) .

Afinní spojení