Paralelní přenos

Paralelní překlad je izomorfismus vrstev přes konce po částech hladké křivky základny hladkého svazku , definovaného nějakým daným spojením na . Zejména lineární izomorfismus tečných prostorů a , definovaný podél křivky nějakým afinním spojením daným na . $\eta :E\to B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Paralelní překlad podél afinního spojení

Nechte afinní spojení na hladkém rozdělovači . O vektoru se říká, že je získán paralelním posunem z vektoru podél hladké křivky bez vlastních průniků , pokud v okolí této křivky existuje hladké vektorové pole s následujícími vlastnostmi: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma :[0,1]\to M$ $X$

rovnost a jsou splněny ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
pro jakoukoli hodnotu platí rovnost , kde symbol označuje kovariantní derivaci a je vektorem rychlosti . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\tečka {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\tečka {\gamma }}(t)$ $\gamma$

Komentář. Protože v místních souřadnicích platí rovnost:

(\nabla _{\tečka {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\tečka {\gamma }}^{k}

a v tomto výrazu nejsou žádné parciální derivace složek vektoru , v definici paralelní translace není nutné vyžadovat , aby vektorové pole bylo definováno v celém okolí cesty , stačí , že existuje a je hladce po této cestě. $X$ $X$ $\gamma (t)$

Rovnoběžný posun podél hladké křivky po částech (včetně křivek s vlastními průniky) je definován jako superpozice paralelních posunů podél jejích hladkých částí, které se neprotínají.

Na základě pojmu paralelní translace vektoru jsou definovány pojmy paralelní translace tenzoru libovolné valence.

Vlastnosti paralelní translace vektorů

Podle teorie obyčejných diferenciálních rovnic řešení Cauchyho problému libovolné lineární ODR pokračuje donekonečna podél jakékoli hladké křivky, proto zadáním vektoru v počátečním bodě a naznačením cesty paralelní translace je tento vektor jednoznačně přenesen do kteréhokoli bodu této cesty.
Při překládání vektorů po stejné cestě jsou zachovány všechny lineární vztahy mezi nimi.
Přenos vektorů je reverzibilní: stačí přenést koncové vektory po zpáteční cestě, abyste získali původní vektory.
V důsledku dvou předchozích vlastností se ukazuje, že operátorem paralelní translace podél křivky je lineární izomorfismus prostorů a . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Jestliže afinní spojení je konzistentní s metrickým tenzorem na Riemannově varietě ( Levi-Civita spojení ), pak je translační operátor ortogonální, to znamená, že zachovává bodové součiny vektorů, jejich délky a úhly mezi nimi.
Důležitou vlastností paralelního překladu je také nezávislost výsledku překladu na parametrizaci cesty (ekvivalentní cesty dají stejný výsledek). Paralelní translace podél různých křivek přitom obvykle vede k různým výsledkům.

Související definice

Geodetika je hladká cesta, jejíž vektor tečny v každém bodě je získán paralelním posunutím vektoru tečny z jakéhokoli jiného bodu.
Skupina holonomie je skupina automorfismů tečného prostoru definovaná paralelními translacemi podél uzavřených po částech hladkých křivek. Kromě toho, pro připojený rozdělovač , a jsou vždy konjugované. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ ${\displaystyle \Phi _{y))$

Historie

Vývoj konceptu paralelní translace začal obvyklou rovnoběžností na euklidovské rovině, pro kterou Minding v roce 1837 naznačil možnost zobecnit ji na případ plochy v pomocí jím zavedeného konceptu rozvinutí křivky na letadlo . Tato indikace Mindingu posloužila jako výchozí bod pro Levi-Civita , který formalizoval analyticky paralelní transport tečného vektoru na povrchu, objevil jeho závislost pouze na metrice povrchu a na tomto základě jej okamžitě zobecnil na případ -rozměrného Riemannovského prostoru (viz spojení Levi-Civita ). Další zobecnění tohoto pojmu souvisí s rozvojem obecné teorie souvislostí. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Literatura

Rashevsky PK Riemann geometrie a tenzorová analýza. - Jakékoli vydání.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Základy diferenciální geometrie. — Novokuzněcký ústav fyziky a matematiky. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .