Konektivita Levi-Civita

Spojení Levi-Civita (nebo spojení spojené s metrickým ) je jednou z hlavních struktur na Riemannově manifoldu. Poskytuje přirozený způsob, jak rozlišit vektorová pole na Riemannově varietě ; je ekvivalentní specifikaci kovariantní diferenciace , stejně jako paralelní translace podél křivek. Pojmenován po italském matematikovi Tullio Levi-Civita .

Definice

Spojení Levi-Civita je afinní spojení s nulovou torzí na Riemannově (nebo pseudoRiemannově ) varietě , vůči níž je metrický tenzor kovariančně konstantní. $M$

To znamená, že afinní spojení na Riemannově manifoldu se nazývá Levi-Civita spojení, pokud jsou pro něj splněny následující dvě podmínky: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemannian) pro všechna vektorová pole , , true , kde označuje derivaci ve směru . $X$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y,\;Z))$ $g(Y,Z)$ $X$
(absence torze) pro jakákoli vektorová pole a , kde jsou Lie závorky vektorových polí a . $X$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X,\;Y]$ $X$ $Y$

Vlastnosti

Jakákoli riemannovská (a pseudoriemannovská) varieta má jedinečné spojení Levi-Civita; toto prohlášení je někdy nazýváno základní teorém Riemannian geometrie .

Viz také

Literatura

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .