Kleinova láhev

Kleinova láhev (nebo Kleinova láhev [1] [2] ) je neorientovatelný (jednostranný) povrch , popsaný v roce 1881 německým matematikem Felixem Kleinem . Úzce souvisí s Möbiovým pásem a projektivní rovinou . Jméno zjevně pochází z podobnosti pravopisu slov v němčině. Fläche (povrch) a německy. Flasche (láhev).

Historie

První popis Kleinovy láhve se objevil v monografii F. Kleina „O Riemannově teorii algebraických funkcí a jejich integrálech“, vydané v roce 1882. Klein v něm popisuje tento povrch [3] [4] takto:

Představu o tom můžete získat tak, že otočíte kus pryžové trubice naruby a necháte ji protínat sama se sebou tak, že když jsou její konce spojeny, její vnější strana by byla spojena s vnitřní.

Původní text (německy)[ zobrazitskrýt] Man kann sich von denselben ein Bild machen, indem man etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und jeptiška tak sich selbst durchdringen lässt, dass bei Zusammenbiegung der Enden die Aussenseite zumtmus.

Popis

K sestavení modelu Kleinovy láhve potřebujete láhev se dvěma dalšími otvory: ve dně a ve stěně. Hrdlo láhve musí být vytaženo, ohnuto dolů a protažením otvorem ve stěně připevněno k otvoru ve spodní části láhve. Skutečná Kleinova láhev ve 4D nepotřebuje díru ve zdi, ale v 3D euklidovském prostoru se bez ní neobejdete .

Na rozdíl od běžného skla nemá tento předmět „hranu“, kde povrch náhle končí. Na rozdíl od balónu je možné cestovat zevnitř ven, aniž byste překročili hladinu (to znamená, že tento objekt ve skutečnosti nemá „vnitřek“ a žádný „venek“).

Formálněji lze Kleinovu láhev získat slepením čtverce identifikací bodů v a , jak je znázorněno na prvním diagramu. Následující diagramy ukazují, jak se tato topologie propadá do 3D tvaru láhve. $[0,1]\krát [0,1]$ $(0,y)\sim (1,y)$ $0\leqslant y\leqslant 1$ $(x,0)\sim (1-x,1)$ $0\leqslant x\leqslant 1$

Vlastnosti

Stejně jako Möbiův proužek je i Kleinova láhev dvourozměrným diferencovatelným neorientovatelným potrubím . Na rozdíl od Möbiova proužku je Kleinova láhev uzavřený rozdělovač, tedy kompaktní rozdělovač bez ohraničení.
Kleinova láhev nemůže být zapuštěna (pouze ponořena ) do trojrozměrného euklidovského prostoru , ale je zasazena do . $\mathbb {R} ^{3}$ $\R^4$
Kleinovu láhev lze získat nalepením dvou Möbiových proužků podél okraje. V obvyklém trojrozměrném euklidovském prostoru je však nemožné to udělat bez vytvoření vlastního průniku. $\mathbb {R} ^{3}$
Povrchové chromatické číslo je 6.

Řezy

Pokud je Kleinova láhev rozříznuta na polovinu podél její roviny symetrie , výsledkem je Möbiův proužek zobrazený vpravo. (Musíme mít na paměti, že zobrazený sebeprůnik ve skutečnosti neexistuje.)

Parametrizace

Osmičková Kleinova láhev má poměrně jednoduchou parametrizaci:

x=\left(r+\cos {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin v-\sin {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin 2v\right)\cdot \ protože u

y=\left(r+\cos {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin v-\sin {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin 2v\right)\cdot \ hřích u

z=\sin {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin v+\cos {\tfrac {u}{2}}\cdot \sin 2v

V této podobě má vlastní průsečík tvar geometrického kruhu v rovině . Konstanta je rovna poloměru kružnice. Parametr udává úhel v rovině a označuje polohu poblíž řezu ve tvaru 8. $XY$ $r$ $u$ $XY$ $proti$

Viz také

Poznámky

↑ G. Sanchez-Morgadoab, A. L. Felshtyns, Reidemeister Torsion and Integrable Hamiltonian Systems, Algebra and Analysis , 2000, svazek 12, vydání 6, strany 194–216
↑ S. V. Buyalo, Euklidovské roviny v otevřených trojrozměrných varietách nepozitivní křivosti, Algebra i Analiz, 1991, svazek 3, číslo 1, strany 102–117
↑ Klein, Felix. Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale . - Lipsko, 1882. - S. 80.
↑ “Kleinova láhev” // Matematika 19. století: Geometrie. Teorie analytických funkcí / B. L. Laptev et al.; redakce: A. N. Kolmogorov , A. P. Juškevič . - M . : Nauka , 1981. - S. 104. - 5000 výtisků.

3. Kleinova váza. Teorie struktury světa prostřednictvím vázy. B. Werber. Encyklopedie relativních a absolutních znalostí.

Odkazy

Prodejna skleněných lahví Klein
Hry torus Freeware hry pro Windows a Mac OS X ilustrující topologii torusu a Kleinovy láhve
Animace Klein Bottle, kterou v roce 2010 vyrobila Freie Universität Berlin, obsahuje obrázek jízdy na lahvi a původní popis Felixe Kleina.

Kompaktní povrchy a jejich ponoření do trojrozměrného prostoru

Třída homeoformity kompaktního triangulovaného povrchu je určena orientovatelností, počtem hraničních složek a Eulerovou charakteristikou.

žádná hranice

Orientační	Koule (rod 0) Thor (rod 1) "Osm" (rod 2) " Preclík " (rod 3) ...
Neorientovatelný	Skutečná projektivní rovina rod 1; Bojová plocha římský povrch Kleinova láhev (rod 2) Povrch ptáka (rod 3) ...

s okrajem

Disk
- polokoule
Stuha
- Prsten
- Válec
Pás Mobius
- Möbiův pás
Koule se třemi otvory...

Související
pojmy

Vlastnosti	Konektivita kompaktnost Triangulace nebo hladkost Orientovatelnost
Charakteristika	Počet prvků ohraničení Rod Eulerova charakteristika
Operace	Připojený součet řezání otvorů Přilepení rukojeti Připevnění Möbiova proužku Ponoření