Riemannova věta o mapování
Riemannův teorém mapování (v komplexní analýze jednoduše označovaný jako Riemannův teorém ) je klasickým výsledkem 2-rozměrné konformní geometrie a jednorozměrné komplexní analýzy.
Dovolit je doména na rozšířené komplexní rovině , která je jednoduše spojena a její hranice obsahuje více než jeden bod. Pak na jednotkovém disku existuje holomorfní funkce , která jej mapuje na 1:1 .
Poznámky
Holomorfní funkce, která je jedna ku jedné (tj. invertibilní ) je konformní zobrazení, takže věta může být vyjádřena v podmínkách konformní ekvivalence. Také nezáleží na tom, zda tvrdit existenci funkce nebo inverze, . Je dokonce možné vyžadovat existenci zobrazení z libovolné jednoduše propojené domény do jakékoli jiné jednoduše propojené domény - to tvrzení věty neposiluje.
Tato věta se zdá paradoxní, protože podmínky v oblasti jsou čistě topologické a nijak nespecifikují geometrii její hranice . Ve skutečnosti je poměrně snadné konformovat konformní zobrazení kruhu nejen na mnohoúhelníky a další obrazce s rohy, ale také na oblasti jako kruh s jedním poloměrem výřezu atd. S určitou dovedností se na kružnici zkonstruuje i funkce , jehož obraz nemá nikde hladký okraj . Riemannovi se však podařilo dokázat větu pouze za předpokladu po částech hladkosti hranice.
Jedinečnost mapování
Protože je snadné neidenticky konformně mapovat jednotkový kruh na sebe, požadované konformní mapování nemůže být jedinečné. Je však snadné vidět, že veškerá libovolnost v konstrukci zobrazení je připisována automorfismům jednotkové kružnice, které tvoří skutečnou 3-rozměrnou Lieovu grupu .
Variace a zobecnění
- Pokud místo definičního oboru v komplexní rovině uvažujeme definiční obor na libovolné Riemannově ploše , pak dospějeme k uniformizační větě .
- Pokusy zobecnit tento teorém na skutečnou konformní geometrii v dimenzích vyšších než 2, stejně jako na komplexní geometrii v dimenzích vyšších než 1, za použití konceptu holomorfního zobrazení, nevedly k žádnému zvláštnímu úspěchu. Je dokázáno, že v obou případech již čistě topologické podmínky pro ekvivalenci domén nestačí. Geometrizační teorém lze považovat za variantu zobecnění teorému na trojrozměrný případ.
Literatura