Hranice (topologie)

Hranicí množiny A je množina všech bodů umístěných libovolně blízko obou bodů množiny A i bodů mimo množinu A .

Definice

Nechť je dán topologický prostor , kde je libovolná množina a je topologie definovaná na . Nechť je uvažována množina . Potom se bod nazývá hraničním bodem množiny pouze tehdy, pokud pro kterékoli z jeho okolí ležících zcela v tomto topologickém prostoru platí: $(X, {\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $A\subsetX.$ $x_{0}\v X$ $A$ $U\ni x_{0},$

U\cap A\neq \varnothing

a současně

U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .

Množina všech hraničních bodů množiny se nazývá hranice množiny ( in ) a označuje se nebo je-li třeba zdůraznit, že hranice je uvažována vzhledem k okolnímu prostoru . $A$ $A$ $X$ $\část A$ $\partial _{X}A$ $X$

Vlastnosti

$\partial A=\partial \left(A^{{\doplňek }}\vpravo);$
$\partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };$
$\část A$ je uzavřená množina ;
$A$ je otevřená množina tehdy a jen tehdy $A\cap \partial A=\emptyset ;$
$A$ je uzavřená množina tehdy a jen tehdy $\částečné A\podmnožina A;$
$A$ je otevřená a současně uzavřená množina tehdy a jen tehdy $\partial A=\emptyset ;$
$\partial \partial A\subset \partial A$ a rovnosti je dosaženo tehdy a jen tehdy $\partial \partial A=\partial A$ $(\partial A)^{\circ }=\emptyset ;$
$\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Příklady

Uvažujme číselnou řadu se standardní topologií . Potom: pro : $\mathbb {R}$ $-\infty <a<b<+\infty$

pro : $-\infty <a<b<+\infty$ $\partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b) =\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;$
$\partial _{\mathbb {R} } \mathbb {Q} =\mathbb {R} .$

V tomto případě je velmi důležité s ohledem na to, s jakým okolním topologickým prostorem je hranice množiny uvažována.

Například při standardní topologii na Potom je hranice otevřené kružnice vzhledem k této topologii rovna kružnici , protože okolí, s jehož pomocí je hranice množiny definována, je plochý obrazec (např. jako okolí může sloužit kružnice s libovolným nenulovým poloměrem) a aby se jakékoli okolí hraničního bodu mohlo protínat jak s kružnicí , tak s jejím doplňkem , musí být hraniční bod na kružnici $\mathbb {R} ^{2}.$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\}.$

Pokud vezmeme v úvahu standardní topologii, pak hranice otevřeného kruhu bude uzavřený kruh, protože uvnitř sousedství je již 3-rozměrný obrazec (řekněme koule) a doplněk kruhu je relativně již . V tomto případě tedy nejen jakýkoli bod kružnice , ale také jakýkoli bod původní množiny bude spadat pod definici hraničního bodu otevřené kružnice . $\mathbb {R} ^{3},$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1\},$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{ 2}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\))$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}.$

Hranice (topologie)

Definice

Vlastnosti

Příklady

Viz také