Uzavření (topologie)

Uzávěr  je konstrukce, která dává nejmenší uzavřenou množinu obsahující danou množinu topologického prostoru .

Uzávěr množiny se obvykle označuje Jiný zápis:

Definice

Následující dvě definice jsou ekvivalentní.

Jako nejmenší uzavřená množina

Dovolit být podmnožinou topologického prostoru.Uzávěr v je průsečíkem všech uzavřených množin obsahujících

Komentář. Protože je průsečík libovolné rodiny uzavřených množin uzavřen, je uzávěr vždy uzavřen.

Prostřednictvím kontaktních míst

Bod v topologickém prostoru se nazývá bod kontaktu množiny , pokud nějaké okolí obsahuje alespoň jeden bod množiny

Soubor všech styčných bodů se nazývá uzávěr

Vlastnosti

  1. Uzávěr soupravy je uzavřen.
  2. Uzávěr sady obsahuje samotnou sadu, tzn.
  3. Uzávěr množiny obsahuje všechny její mezní body .
  4. Sada je uzavřena tehdy a pouze tehdy, pokud se shoduje s jejím uzavřením, tzn
  5. Vlastnost idempotence : opakovaná aplikace operace uzavření nemění výsledek (který bezprostředně vyplývá z vlastností 1 a 4) :
  6. Uzávěr zachovává vnořovací vztah, tzn.
  7. Uzavření svazu je spojením uzavření, tj.
  8. Uzavírka křižovatky je podmnožinou křižovatky uzavírek, tj.

Příklady

Ve všech níže uvedených příkladech je topologickým prostorem skutečná čára se standardní topologií, která je na ní definována.