Limitní bod

Limitní bod množiny v obecné topologii je bod, jehož jakékoli proražené okolí se s touto množinou protíná.

Definice a typy mezních bodů

Bod se nazývá limitní bod podmnožiny v topologickém prostoru , pokud má každé proražené okolí bodu neprázdný průsečík s . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$

Bod se nazývá akumulační bod podmnožiny , pokud má každé okolí bodu společný nekonečný počet bodů. Pro T 1 -prostory (tj. prostory, ve kterých jsou všechny body (jednobodové množiny) uzavřeny), jsou pojmy limitního bodu a akumulačního bodu ekvivalentní. $X$ $A$ $X$ $A$

Bod se nazývá kondenzační bod podmnožiny , pokud každé okolí bodu obsahuje nespočetnou množinu bodů . $X$ $A$ $X$ $A$

Bod se nazývá bod úplné akumulace podmnožiny , jestliže pro jakékoli okolí bodu je mocnina průniku rovna mocnině množiny . $X$ $A$ $U$ $X$ $U\cap A$ $A$

Související pojmy a vlastnosti

Bod se nazývá tečný bod podmnožiny v topologickém prostoru , pokud má každé okolí bodu neprázdný průsečík s . Soubor všech dotykových bodů množiny tvoří její uzávěr . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$ $A$ $\bar A$

O bodu se říká , že je izolovaný , pokud má sousedství, které nemá žádné společné body jiné než . Podmnožina v , sestávající z tohoto jednoho bodu, je otevřená v (v indukované topologii ). $x\v A$ $A$ $X$ $A$ $A$

Všechny dotykové body libovolné množiny (tj. uzavírací body ) jsou tedy rozděleny do dvou typů: limitní a izolované body . Druhé tvoří podmnožinu , zatímco první do ní může nebo nemusí patřit. $A\podmnožina X$ $\bar A$ $A$ $A$

Množina všech limitních bodů množiny se nazývá její derivační množina a značí se . Do jejího uzávěru se započítávají všechny mezní body soupravy . Navíc platí následující rovnost: , ze které lze snadno získat následující kritérium pro uzavřenost podmnožin : Množina A je uzavřená právě tehdy, obsahuje-li všechny její mezní body. $A$ $A'$ $\bar A$ ${\bar A}=A\pohár A'$

Jestliže je limitní bod množiny , pak existuje směr bodů od , konvergující k . $X$ $A$ $A$ $X$

V metrických prostorech , jestliže je limitní bod množiny , pak existuje posloupnost bodů od konvergujících k . Topologické prostory, pro které tato vlastnost platí, se nazývají Fréchet-Urysohnovy prostory . $X$ $A$ $A$ $X$
Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá nekonečná podmnožina v něm má alespoň jeden bod úplné akumulace v . $X$ $X$

Topologický prostor je spočetně kompaktní právě tehdy, když každá nekonečná podmnožina v něm má alespoň jeden přísný limitní bod v . Každý kompakt je početně kompaktní. Pro metrické prostory to platí i naopak (kritérium kompaktnosti metrického prostoru): metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je spočetně kompaktní. $X$ $X$

(Konkrétně, protože úsečka je kompaktní, je spočetně kompaktní. Proto má každá nekonečně ohraničená podmnožina úsečky alespoň jeden limitní bod.)

Uzavřená množina v Hausdorffově prostoru se nazývá dokonalá , pokud je každý její bod limitní (tj. pokud množina neobsahuje izolované body). Příklady dokonalých množin jsou úsečka, Cantorova množina .

Příklady

Uvažujme množinu reálných čísel se standardní topologií generovanou otevřenými intervaly. Pak s ohledem na tuto topologii máme: $\mathbb {R}$
- $(a,b)'=[a,b];$
- ${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$ kde je množina
racionálních čísel ; $\mathbb {Q}$
${\mathbb {Z}}'=\varnothing,$ kde je množina celých čísel ; $\mathbb {Z}$

Nechť je první nepočitatelné řadové číslo . Zvažte - ordinální s topologií řádu . Bod je limitním bodem množiny , ale neexistuje žádná posloupnost prvků této množiny, která by konvergovala k .

\omega_{1}

[0,\omega _{1}]

\omega _{1}+1

\omega_{1}

[0,\omega _{1})

\omega_{1}

Mezní bod číselné množiny

Zejména limitním bodem numerické množiny, která má nekonečný počet prvků, je bod na číselné ose , v jejímž okolí je nekonečně mnoho prvků této množiny. Mezní bod takové množiny můžete uvažovat i tehdy, lze -li z některých jejích prvků sestavit nekonečně velkou posloupnost s párově odlišnými zápornými prvky. Pokud je možné sestavit nekonečně velkou posloupnost s párově odlišnými kladnými prvky, pak ji lze považovat za limitní bod [1] . $-\infty$ $+\infty$

Horní mezní bod množiny čísel je největší z jejích mezních bodů.

Spodní mezní bod číselné množiny je nejmenší z jejích mezních bodů.

Vlastnosti

Libovolná množina omezených čísel, která má nekonečný počet prvků, má horní i dolní limitní body (v množině reálných čísel ). Přičteme-li k množině reálných čísel a , pak ve výsledné množině mají všechny číselné množiny s nekonečným počtem prvků mezní body. $-\infty$ $+\infty$

Z prvků jakékoli omezené číselné množiny s nekonečným počtem prvků lze vyčlenit konvergentní posloupnost, jejíž prvky jsou po párech odlišné.

Mezní bod číselné řady

Limitní bod posloupnosti je bod, v jehož okolí je nekonečně mnoho prvků této posloupnosti [1] .

X

je limitním bodem posloupnosti

\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\existuje X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{ i}-x\right|<\varepsilon

Největší limitní bod posloupnosti se nazývá jeho horní limit a nejmenší limitní bod se nazývá jeho dolní limit .

Někdy jsou " " a " " zahrnuty do sady možných limitních bodů. Takže, pokud lze vybrat nekonečně velkou podsekvenci z posloupnosti, jejíž všechny prvky jsou záporné, pak říkají, že " " je limitním bodem této posloupnosti. Pokud je možné z posloupnosti vybrat nekonečně velkou podposloupnost s výhradně kladnými prvky, pak říkají, že " " je její limitní bod [1] . V tomto případě může mít sekvence samozřejmě i jiné limitní body. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

Vlastnosti

Bod je limitním bodem posloupnosti právě tehdy, když je možné z této posloupnosti vybrat podposloupnost , která k tomuto bodu konverguje (tj. bod je částečnou limitou posloupnosti ). $X$ je limitním bodem posloupnosti $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{{n=1} }^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim _{{n\to \infty }}x_ {{k_{n}}}=x$ Někdy je tato vlastnost brána jako definice a výše uvedená definice je vlastnost.
Každá konvergentní číselná posloupnost má pouze jeden limitní bod. $x,x'$ jsou limitními body posloupnosti $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Šipka doprava x =x'$
Limitní bod jakékoli konvergentní číselné posloupnosti se shoduje s její limitou . $X$ je limitním bodem posloupnosti $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \ lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$
Pro jakoukoli konečnou množinu bodů lze sestrojit posloupnost, pro kterou budou tyto body limitními body a nikdo jiný než oni.
Libovolná číselná posloupnost má alespoň jeden limitní bod (buď skutečný nebo nekonečno ).

Příklady

Posloupnost jedniček má jedinečný limitní bod 1 (ačkoli to není limitní bod množiny hodnot prvků posloupnosti, která se skládá z jednoho prvku). $\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Posloupnost má jeden limitní bod 0. $\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Posloupnost přirozených čísel nemá žádné limitní body (nebo, jinak řečeno, má limitní bod ). $\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $+\infty$
Posloupnost má dva limitní body: −1 a +1. $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Posloupnost všech racionálních čísel libovolně číslovaných má nekonečně mnoho limitních bodů. $\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Limitní bod směru

Dovolit být směr prvků topologického prostoru . Pak se nazývá směrový limitní bod , pokud pro libovolné okolí bodu a pro jakékoli existuje index takový, že a ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $X$ $U$ $X$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta \in \mathrm {A}$ $\beta \geqslant \alpha$ $x_{\beta }\in U$

Vlastnosti

Bod je směrovým limitním bodem tehdy a pouze tehdy, když existuje podsměr konvergující k tomuto bodu.
- Konkrétně bod je limitním bodem posloupnosti tehdy a pouze tehdy, když existuje podsměr konvergující k tomuto bodu.
- Pokud má každý bod topologického prostoru spočetnou základnu, pak v předchozím odstavci můžeme mluvit o podsekvencích.

Příklady

Let - směrováno ve vzestupném pořadí. Směr má jeden limitní bod v topologickém prostoru . $A=[0,1)$ ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A))$ ${jeden}$ $[0, 1]$

Viz také

izolovaná tečka

Poznámky

↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92-105. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
L.V. Kantorovič , G.P. Akilov . Funkční analýza. — M .: Nauka, 1984. — 752 s.