Perfektní sada

Dokonalá množina je uzavřená množina , která nemá izolované body , to znamená, že se shoduje s množinou všech jejích limitních bodů.

Příklady

Klasickým příkladem nikde husté a dokonalé sady je sada Cantor .

Vlastnosti

Jakákoli neprázdná dokonalá množina euklidovského prostoru má mohutnost kontinua (zobecnění Cantorovy věty, že každá dokonalá množina na segmentu reálné osy má mohutnost kontinua) [1] .
Sada kondenzačních bodů jakékoli sady je perfektní.

Cantor-Bendixonův teorém

Cantor-Bendixonův teorém je tvrzení o struktuře jakékoli nesčetné uzavřené množiny . Tato věta je zobecněna na případ podmnožin metrického prostoru se spočetným základem (viz Lindelöfova věta )

Formulace

Jakákoli nepočitatelná uzavřená množina je součtem dokonalé množiny jejích kondenzačních bodů a ne více než spočitatelná množina dalších bodů. $M$

Důkaz

Důkaz je založen na třech větách. Vyplývá to z vět 2 a 3. Abychom to dokázali, stačí poznamenat, že množina kondenzačních bodů kvůli uzavřenosti . $N\subset M$ $M$

Věta 1

Aby byl bod bodem kondenzace množiny , je nutné a postačující , aby každé racionální okolí bodu obsahovalo nespočetnou množinu bodů z . $A$ $M$ $A$ $M$

Vysvětlivky

Racionální okolí bodu je jakýkoli interval s racionálními konci obsahující tento bod, který nemusí být středem intervalu. $A$

Důkaz Nutnost

Dovolit být kondenzační bod a být libovolné racionální okolí bodu . Pojďme si vybrat . Potom bude okolí bodu zcela spadat do . Protože je kondenzační bod, pak , a tedy a , bude obsahovat nespočetnou množinu bodů z . $A$ $(r',r'')$ $A$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $A$ $(r',r'')$ $A$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$

Dostatečnost

Nechť jakékoli racionální okolí bodu obsahuje nespočetnou množinu bodů z . Zvažte libovolné okolí bodu a nechť a být dvě racionální čísla umístěná příslušně mezi a a mezi a . Potom do sousedství spadne zcela racionální sousedství a spolu s ním nespočetná množina bodů z . To ale znamená, že existuje kondenzační bod. $A$ $M$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $A$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $A$ $A$ $a+\delta$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$ $A$

Věta 2 Formulace

Každá nepočitatelná množina obsahuje nepočitatelnou množinu svých kondenzačních bodů . $M$

Důkaz

Dovolit být soubor bodů z toho nejsou kondenzační body souboru . Pokud , pak není co dokazovat. Nechte a . Protože se nejedná o kondenzační bod, existuje racionální okolí bodu obsahující nejvýše spočetnou množinu bodů z , včetně bodů z . Celá množina tedy může být uzavřena v nějakém systému racionálních intervalů, z nichž každý obsahuje nejvýše spočetný počet bodů z . Protože existuje spočetná množina všech racionálních intervalů, vyplývá z toho, že je také nanejvýš spočetná. Pak — množina kondenzačních bodů množiny je nepočitatelná. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \v R$ $X$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\obrácené lomítko R$ $M$

Věta 3 Formulace

Sada kondenzačních bodů z nesčetné sady je perfektní. $N$ $M$

Důkaz

Nejprve ukažme, že je zavřeno. Dovolit a být libovolný racionální interval obsahující bod . Pro dostatečně malý interval spadne interval celý dovnitř . Protože je limitním bodem pro množinu kondenzačních bodů, obsahuje alespoň jeden kondenzační bod a spolu s ním nějaké okolí bodu . Ale pak toto okolí, a tedy také , obsahuje nespočetnou množinu bodů z , a protože je libovolné racionální okolí bodu , to jest kondenzačního bodu, to je . Ukažme, že neobsahuje izolované body. Dovolit být libovolný bod od a být libovolné okolí bodu . Pak toto okolí obsahuje nespočetnou množinu bodů z . Zvažte nespočetnou množinu . Podle věty 1 obsahuje nespočetnou množinu svých kondenzačních bodů. Každý kondenzační bod pro je zároveň kondenzačním bodem pro . Dovnitř se tedy dostane nespočetná množina bodů z , a tedy není izolovaným bodem této množiny. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $\delta$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $X$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta)$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $N$ $x_{{0}}$

Poznámky

↑ Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 s.

Literatura

Sobolev VI Přednášky o dalších kapitolách matematické analýzy. - M.: Nauka, 1968. - S. 79.