Kondenzační bod

Kondenzační bod je zesílená verze mezního bodu a speciální verze akumulačního bodu v obecné topologii : pro danou množinu v topologickém prostoru se bod nazývá kondenzační bod, pokud jakékoli okolí obsahuje nespočetnou množinu bodů soubor . $A$ $X$ $x\in X$ $X$ $A$

Množina kondenzačních bodů množiny - - je uzavřená , navíc pokud není prázdná, pak jde o dokonalou množinu a má mohutnost kontinua . Soubor kondenzačních bodů uzávěru soupravy se shoduje se souborem kondenzačních bodů vlastní soupravy: . Sjednocení množin kondenzačních bodů dvou množin se shoduje s množinou kondenzačních bodů sjednocení původních množin: . Pro množinu v prostoru s druhým axiomem počitatelnosti a jsou spočetné . Poslední dvě vlastnosti přímo implikují Cantor-Bendixonovu větu $A$ ${\displaystyle A^{\circ ))$ ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ $(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$ $A$ $X$ $A\setminus A^{\circ }$ $(A^{\circ })^{\circ }=A$ v obecné topologické verzi (původně osvědčené pro podmnožiny reálné čáry).

Pro numerickou podmnožinu jsou všechny limitní body kondenzačními body; každý bod Cantorova diskontinua je jeho kondenzačním bodem. Spočetná množina kondenzačních bodů nemůže mít (zároveň mohou existovat limitní body, např. všechny body reálné čáry jsou limitními body pro spočetnou množinu racionálních čísel). $\mathbb {Q}$

Pro podprostory euklidovských prostorů byly kondenzační body definovány a studovány v roce 1903 Ernstem Lindelöfem , v roce 1914 Felix Hausdorff rozšířil koncept na obecné topologické prostory.

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M .: Science , 1977. - S. 104, 143, 159-160. — 368 s.
Engelking R. Obecná topologie . - M .: Mir , 1986. - S. 102 . — 752 s.
Kondenzační bod - článek z Encyklopedie matematiky . B. A. Efimov