Sada Cantor

Cantorova množina ( Cantorovo diskontinuum , Cantorův prach ) je jedním z nejjednodušších fraktálů , podmnožinou jednotkového segmentu reálné čáry , což je klasický příklad diskontinua v matematické analýze .

Popsal v roce 1883 Georg Cantor . Tím odpověděl na následující otázku Magnuse Mittag-Lefflera v dopise ze dne 21. června 1882: [1]

Označme množinu limitních bodů množiny . Existuje nikde hustá množina , jako je průsečík

P'

P

P

P\cap P'\cap P''\cap \dots

není prázdný?

Definice

Klasická konstrukce

Z jednoho segmentu odstraníme prostřední třetinu, tedy interval . Zbývající sada bodů bude označena . Sada se skládá ze dvou segmentů; Odeberme nyní jeho prostřední třetinu z každého segmentu a zbývající sadu označme . Opakováním tohoto postupu znovu, odstraněním středních třetin všech čtyř segmentů, dostaneme . Dále stejným způsobem získáme posloupnost uzavřených množin . průsečík $C_0=[0,1]$ $(1/3,2/3)$ $C_{1}$ $C_1=[0,1/3]\pohár[2/3,1]$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_0\supset C_1\supset C_2\supset\tečky$

C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i

se nazývá Cantorova množina .

Sady

C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

S ternární notací

Cantorovu množinu lze také definovat jako množinu čísel od nuly do jedné, která lze znázornit v ternárním zápisu pouze pomocí nul a dvojek (čísla s jednotkou na n-té číslici se v n-tém kroku konstrukce vystřihnou). Číslo patří do Cantorovy množiny, pokud má alespoň jednu takovou reprezentaci, například od . $0{,}1_{3}\in C$ ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3))$

V takovém zápisu je dobře vidět kontinuita Cantorovy množiny.

Jako atraktor

Cantorovu množinu lze definovat jako atraktor . Uvažujme všechny posloupnosti bodů takové, že pro libovolný $\{x_n\}$ $n$

x_{n+1}=x_n/3

nebo .

x_{n+1}-1=(x_n-1)/3

Potom je množinou limitů všech takových sekvencí Cantorova množina.

Jako spočetná mocnina jednoduchého dvojtečky

V literatuře o obecné topologii je Cantorova množina definována jako spočetná mocnina dvoubodového diskrétního prostoru - [2] ; takový prostor je homeomorphic ke klasicky konstruované Cantorově množině (s obvyklou euklidovskou topologií) [3] [4] . $\{0;1\}^{\aleph_0}$

Vlastnosti

Set Cantor není nikde hustý dokonalý set .
Sada Cantor je kontinuální .
Cantorova množina má topologickou dimenzi 0.
Cantorova množina má střední (tj. ne celé číslo ) Hausdorffovu dimenzi rovnou . Zejména má nulovou Lebesgueovu míru . $\ln 2/\ln 3\cca 0{,}63$
Každý nulový metrizovatelný kompakt bez izolovaných bodů je homeomorfní pro Cantorovu sadu.
Každý metrizovatelný kompakt je obrazem sady Cantor pod určitým souvislým mapováním .
Cantorova sada je univerzální pro všechny nulové prostory s počitatelnou bází .

Variace a zobecnění

Cantorova krychle ( zobecněné Cantorovo diskontinuum ) váhy jeta mocnina dvoubodového diskrétního prostoru. Cantorova kostka je univerzální pro všechny nulové prostory o hmotnosti maximálně. Každý Hausdorffův výlisek hmotnosti nanejvýšje souvislým obrazem podprostoru Cantorovy krychle. $\mathfrak{m}\geqslant \aleph_0$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$

Dyadická kompaktní množina je kompaktní množina reprezentovatelná jako spojitý obraz Cantorovy krychle. Dyadický prostor [5] je topologický prostor, pro který existuje kompaktifikace , která je dyadickou kompaktní množinou.

Viz také

Poznámky

↑ Moore, Gregory H. Vznik otevřených množin, uzavřených množin a limitních bodů v analýze a topologii // Historia Math. - 2008. - Sv. 35 , č. 3 . — S. 220–241 .
↑ Engelking, 1986 , s. 136.
↑ Engelking, 1986 , s. 207-208.
↑ Cantor set - článek encyklopedie matematiky . V. V. Fedorčuk
↑ Dyadický prostor - článek z Encyklopedie matematiky . V. A. Efimov

Literatura

Engelking R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží