Sada Cantor

Cantorova množina ( Cantorovo diskontinuum , Cantorův prach ) je jedním z nejjednodušších fraktálů , podmnožinou jednotkového segmentu reálné čáry , což je klasický příklad diskontinua v matematické analýze .

Popsal v roce 1883 Georg Cantor . Tím odpověděl na následující otázku Magnuse Mittag-Lefflera v dopise ze dne 21. června 1882: [1]

Označme množinu limitních bodů množiny . Existuje nikde hustá množina , jako je průsečík není prázdný?

Definice

Klasická konstrukce

Z jednoho segmentu odstraníme prostřední třetinu, tedy interval . Zbývající sada bodů bude označena . Sada se skládá ze dvou segmentů; Odeberme nyní jeho prostřední třetinu z každého segmentu a zbývající sadu označme . Opakováním tohoto postupu znovu, odstraněním středních třetin všech čtyř segmentů, dostaneme . Dále stejným způsobem získáme posloupnost uzavřených množin . průsečík

se nazývá Cantorova množina .

Sady

S ternární notací

Cantorovu množinu lze také definovat jako množinu čísel od nuly do jedné, která lze znázornit v ternárním zápisu pouze pomocí nul a dvojek (čísla s jednotkou na n-té číslici se v n-tém kroku konstrukce vystřihnou). Číslo patří do Cantorovy množiny, pokud má alespoň jednu takovou reprezentaci, například od .

V takovém zápisu je dobře vidět kontinuita Cantorovy množiny.

Jako atraktor

Cantorovu množinu lze definovat jako atraktor . Uvažujme všechny posloupnosti bodů takové, že pro libovolný

nebo .

Potom je množinou limitů všech takových sekvencí Cantorova množina.

Jako spočetná mocnina jednoduchého dvojtečky

V literatuře o obecné topologii je Cantorova množina definována jako spočetná mocnina dvoubodového diskrétního prostoru  - [2] ; takový prostor je homeomorphic ke klasicky konstruované Cantorově množině (s obvyklou euklidovskou topologií) [3] [4] .

Vlastnosti

Variace a zobecnění

Cantorova krychle ( zobecněné Cantorovo diskontinuum ) váhy jeta mocnina dvoubodového diskrétního prostoru. Cantorova kostka je univerzální pro všechny nulové prostory o hmotnosti maximálně. Každý Hausdorffův výlisek hmotnosti nanejvýšje souvislým obrazem podprostoru Cantorovy krychle.

Dyadická kompaktní množina  je kompaktní množina reprezentovatelná jako spojitý obraz Cantorovy krychle. Dyadický prostor [5]  je topologický prostor, pro který existuje kompaktifikace , která je dyadickou kompaktní množinou.

Viz také

Poznámky

  1. Moore, Gregory H. Vznik otevřených množin, uzavřených množin a limitních bodů v analýze a topologii  //  Historia Math. - 2008. - Sv. 35 , č. 3 . S. 220–241 .
  2. Engelking, 1986 , s. 136.
  3. Engelking, 1986 , s. 207-208.
  4. Cantor set - článek encyklopedie matematiky . V. V. Fedorčuk
  5. Dyadický prostor - článek z Encyklopedie matematiky . V. A. Efimov

Literatura