Hausdorffův rozměr

Hausdorffova dimenze nebo Hausdorffova dimenze je přirozený způsob, jak definovat dimenzi podmnožiny v metrickém prostoru . Hausdorffova dimenze souhlasí s našimi obvyklými představami o dimenzi, pokud tyto obvyklé představy existují. Například v trojrozměrném euklidovském prostoru je Hausdorffův rozměr konečné množiny nula, rozměr hladké křivky je jedna, rozměr hladkého povrchu je 2 a rozměr množiny nenulového objemu je tři. U složitějších (fraktálních) množin nemusí být Hausdorffova dimenze celé číslo.

Definice

Definice Hausdorffovy dimenze se skládá z několika kroků. Dovolit být omezená množina v metrickém prostoru . $\Omega$ $X$

ε-kryty

Nechte _ Nanejvýš počitatelná množina podmnožin prostoru se bude nazývat -cover množiny , pokud platí následující dvě vlastnosti: $\varepsilon >0$ $\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $X$ $\varepsilon$ $\Omega$

$\Omega \subset \bigcup _{{i\in I}}\omega _{i}$
pro jakýkoli : (dále znamená průměr sady ). $i\v I$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ $|\omega |$ $\omega$

Hausdorffova α-míra

Nechte _ Nechť je kryt sady . Definujme si následující funkci, která v jistém smyslu ukazuje „velikost“ tohoto pokrytí: . $\alpha >0$ $\Theta =\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $\Omega$ $F_{\alpha }(\Theta ):=\součet \limits _{{i\in I}}|\omega _{i}|^{\alpha }$

Označme „minimální velikost“ -obaly množiny : , kde infimum jsou převzaty všechny -obaly množiny . $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ ${\varepsilon }$ $\Omega$ $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$ $\varepsilon$ $\Omega$

Je zřejmé, že funkce (nestriktně) roste s klesajícím , protože zmenšováním pouze zmenšujeme množinu možných -krytů. Proto má konečnou nebo nekonečnou limitu v : $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon \rightarrow 0+$

$M_{{\alpha }}(\Omega )=\lim \limits _{{\varepsilon \rightarrow 0+}}M_{{\alpha }}^({\varepsilon }}(\Omega)$ .

Veličina se nazývá Hausdorffova míra množiny . $M_{{\alpha }} (\Omega)$ $\alpha$ $\Omega$

Vlastnosti Hausdorffovy α-míry

$\alpha$ - Hausdorffova míra je Borelova míra na . $X$
až po násobení koeficientem: Hausdorffova 1-míra pro hladké křivky se shoduje s jejich délkou; Hausdorffova 2-míra pro hladké povrchy se shoduje s jejich plochou; -Hausdorffova míra množin se shoduje s jejich -rozměrným objemem. $d$ $\mathbb{R}^d$ $d$
$M_{{\alpha }} (\Omega)$ klesá v . Navíc pro každou množinu existuje [1] [2] [3] kritická hodnota , taková, že: $\alpha$ $\Omega$ $\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=+\infty$ pro všechny $\alpha <\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega)=0$ pro všechny $\alpha >\alpha _{0}$

Hodnota může být nulová, konečně kladná nebo nekonečná. $M_{{\alpha _{0}}} (\Omega)$

Definice Hausdorffovy dimenze

Hausdorffův rozměr množiny je číslo z předchozího odstavce. $\dim _{H}\Omega$ $\Omega$ $\alpha _{0}$

Příklady

Pro sobě podobné sady lze Hausdorffův rozměr vypočítat explicitně. Neformálně řečeno, pokud je množina rozdělena na části podobné původní množině s koeficienty , pak její rozměr je řešením rovnice . Například, $n$ $r_{1},r_{2},\tečky ,r_{n}$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\tečky +r_{n}^{s}=1$

rozměr sady Cantor je (rozděleno na dvě části, koeficient podobnosti 1/3), $\ln 2/\ln 3$
rozměr Sierpinského trojúhelníku - (rozdělený na 3 části, koeficient podobnosti 1/2), $\ln 3/\ln 2$
rozměr dračí křivky - (rozděleno na 2 části, koeficient podobnosti ). $2$ ${\sqrt {1/2))$

Vlastnosti

Hausdorffův rozměr žádné sady nepřesahuje spodní a horní Minkowského rozměry .
Hausdorffova dimenze nejvýše počitatelného sjednocení množin je rovna maximu jejich rozměrů.
- Zejména přidání počitatelné množiny do jakékoli množiny nezmění její rozměr.
Pro libovolné metrické prostory a vztah $X$ $Y$ $\dim _{H}(X\krát Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- U některých dvojic je nerovnost přísná, navíc lze takovou dvojici vybrat z kompaktních podmnožin reálné čáry. [čtyři] $X$ $Y$

Viz také

Poznámky

↑ Důkaz v Pertti Mattila, "Geometrie množin a mír v euklidovských prostorech", 1995 - Věta 4.7
↑ (Springer) Encyklopedie matematiky – odkaz na Mattilu . Získáno 31. srpna 2015. Archivováno z originálu 16. ledna 2020. (neurčitý)
↑ Důkaz v Kenneth Falconer, „Fractal Geometry“ (druhé vydání), 2003 – str. 31
↑ Příklad 7.8 v Falconer, Kenneth J. Fraktální geometrie. Matematické základy a aplikace . — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Literatura

Feder E. Fraktály. - M .: MIR, 1991. - S. 254. - ISBN 5-03-001712-7 .

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika