Nespočetná sada

Nepočitatelná množina je nekonečná množina , která není spočetná .

Některé ekvivalentní definice nespočitatelnosti pro množinu : $X$

neexistuje žádné injektivní zobrazení na množinu přirozených čísel ; $X$ $\mathbb {N}$
$X$ není prázdné a pro každou očíslovanou sekvenci prvků existuje alespoň jeden prvek , který v ní není zahrnut; $X$ $X$
- jinými slovy: je neprázdný a neexistuje žádné surjektivní zobrazení množiny přirozených čísel na ; $X$ $\mathbb {N}$ $X$
moc není ani konečná, ani rovna . $X$ $\aleph_0$

Tyto definice jsou ekvivalentní v systému Zermelo-Fraenkel bez použití axiomu výběru . Důkaz o rovnocennosti těchto definic s následujícími:

moc přísně převyšuje $X$ $\aleph_0$

- vyžaduje použití axiomu výběru.

Nadmnožina nepočitatelné množiny je nepočitatelná. Nejjednodušším příkladem nespočitatelné množiny je kontinuum , otázka existence nespočitatelných množin s mocninou menší než je mocnina kontinua je obsahem hypotézy kontinua .

Literatura

M. I. Voitsekhovský. Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.